H.7 La prueba de rachas para aleatoriedad

¿Sube y baja el oro al azar? Una prueba sobre el orden de los meses

Todas las pruebas anteriores trataban los datos como un conjunto sin orden. Pero en una serie de tiempo importa el orden. Si el precio del oro subiera o bajara cada mes «como una moneda», los meses de alza y de baja estarían mezclados sin patrón. Si hay inercia (un mes de alza tiende a ir seguido de otro de alza), aparecerían rachas largas del mismo signo.

En los 77 meses de febrero de 2020 a junio de 2026, el precio subió en 42 meses y bajó en 35. Contando las rachas (secuencias seguidas del mismo signo), hay G = 30; con aleatoriedad se esperarían 39,2. El valor p es 0,034: menos rachas de las esperadas, es decir, más inercia de la que produciría el azar.

G = 30 rachas

es el número de rachas de meses con alza o baja del oro entre febrero de 2020 y junio de 2026 (77 meses; se esperarían 39,2 con aleatoriedad; valor p 0,034).

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; cálculo propio.

Qué es una racha y qué evalúa la prueba

Después de clasificar cada dato en una de dos categorías, una racha es una secuencia de datos de la misma clase, precedida y seguida por datos de la otra clase (o por ninguno). Con S = sube y B = baja, la secuencia del oro es:

SBSSSSSBBBBSBBSSBBBBBSBSSSBBBBSBBSSSBSSBBSBBBSSBBSSSBSSSSBBSSSSSSBSSSSSSSBBBB

Los primeros doce meses, SBSSSSSBBBBS, forman 5 rachas: S, B, SSSSS, BBBB, S. Cada cambio de clase abre una racha nueva. La prueba de rachas utiliza el número de rachas para probar la aleatoriedad en el orden de los datos, con H₀: los datos están en orden aleatorio; H₁: no lo están. Un detalle importante:

El estadístico para muestras grandes

Sean n₁ y n₂ los números de elementos de cada clase y G el número de rachas. Si n₁ o n₂ superan 20, G es aproximadamente normal:

μ_G = 2n₁n₂/(n₁ + n₂) + 1                                       (número esperado de rachas si hay aleatoriedad)
σ_G = √(2n₁n₂(2n₁n₂ − n₁ − n₂)/((n₁ + n₂)²(n₁ + n₂ − 1)))      (desviación estándar de G)
z = (G − μ_G)/σ_G                                               (estadístico de prueba)

Con los datos del oro (n₁ = 42 alzas, n₂ = 35 bajas, G = 30):

μ_G = 2×42×35/77 + 1 = 39,182                                (rachas esperadas con aleatoriedad)
σ_G = 4,322                                                (desviación estándar de G)
z = (30 − 39,182)/4,322 = −2,124                                 (estadístico de prueba)
p = 2 × P(Z < −2,124) = 0,0336                              (valor p de dos colas)

Se rechaza la aleatoriedad al 5% (p = 0,034 < 0,05), pero no al 1%. Una simulación con 20.000 reordenamientos al azar de los mismos 42 meses de alza y 35 de baja da 2,1% de secuencias con 30 rachas o menos, del mismo orden que el valor p unilateral de 0,017 de la aproximación normal. La inercia es leve: el precio del oro tiene una tendencia a prolongar su signo, pero no es una regla.

Un caso más claro: la inflación por encima o por debajo de la mediana

Con la inflación mensual de 2023 a 2025 (36 meses), cuya mediana es 0,57%, se marca cada mes como A (por encima de la mediana) o b (por debajo):

bbbbAbbbbbbAbbbbAbbAAAAAAAAAAAAAbAbA

Hay n₁ = 18 meses por encima, n₂ = 18 por debajo y G = 12 rachas, frente a 19,0 esperadas con aleatoriedad:

σ_G = 2,957                                                (desviación estándar de G)
z = (12 − 19,0)/2,957 = −2,367                                     (estadístico de prueba)
p = 2 × P(Z < −2,367) = 0,0179                              (valor p de dos colas)

Se rechaza la aleatoriedad (p = 0,018). Con pocas rachas, los meses de inflación baja se agrupan al principio y los de inflación alta, al final: la serie tiene tendencia. Es la prueba de rachas la que revela algo que la prueba de Kruskal-Wallis solo mostraba comparando años: el patrón está en el orden en el tiempo.

Preguntas para pensar

• La prueba de rachas detecta que el oro tiene una ligera inercia. ¿Qué implicaría eso para alguien que intenta predecir el precio, y por qué conviene desconfiar de una regla basada solo en una prueba?
• Una cadena de montaje registra cada pieza como buena o defectuosa, en orden. ¿Cómo usarías la prueba de rachas para sospechar que las fallas aparecen en bloques y no al azar?