H.6 Correlación de rangos de Spearman

¿Se mueven juntos el oro y la plata? La correlación de rangos

En 12 meses elegidos al azar se registraron las variaciones del oro y de la plata. Cuando uno sube, ¿el otro tiende a subir? La correlación lineal de Pearson mide una relación lineal y es sensible a valores extremos. La correlación de rangos de Spearman reemplaza cada valor por su rango y mide qué tan parecido es el orden de las dos variables: vale +1 si el orden coincide exactamente, −1 si es exactamente inverso y cerca de 0 si no hay asociación.

Con estos 12 meses, rs = 0,713 y el valor p es 0,0092: hay una asociación positiva clara. La correlación lineal da r = 0,747, un resultado parecido.

rs = 0,71

es el coeficiente de correlación de rangos de Spearman entre las variaciones mensuales del oro y de la plata en 12 meses (valor p 0,0092).

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales de oro y plata; muestra y cálculo propios.

El coeficiente rs y la prueba

La prueba de correlación de rangos usa pares relacionados y sirve para probar una asociación entre dos variables. Los pasos:

1. Convertir en rangos, por separado, los valores de cada variable (empates: promedio).
2. Calcular la diferencia d entre los dos rangos de cada par y elevarla al cuadrado.
3. Sin empates: rs = 1 − 6Σd²/(n(n² − 1)). Con empates se calcula la correlación lineal de los rangos.
4. Hipótesis: H₀: ρs = 0 (no hay asociación); H₁: ρs ≠ 0.
5. Con n pequeño se compara con valores críticos de tabla; una aproximación equivalente es t = rs√((n − 2)/(1 − rs²)), con n − 2 grados de libertad. Con n > 30, el valor crítico es ±z/√(n − 1).

El coeficiente no exige que los datos tengan distribución normal bivariada: solo que sean rangos o se puedan convertir en rangos.

Los datos del caso, con sus rangos:

Mes        Oro (%)    Plata (%)    Rango oro    Rango plata       d      d²
2020-04     +5,72       +0,78          11             6        +5      25
2020-09     −2,33       −3,82           2             3        −1       1
2020-10     −1,14       −6,34           3             2        +1       1
2021-01     +0,59       +4,06           5             9        −4      16
2021-03     −4,97       −6,35           1             1         0       0
2021-09     −0,38       −2,95           4             4         0       0
2022-08     +1,54       +3,41           7             8        −1       1
2023-03     +3,25       −0,41           9             5        +4      16
2023-04     +4,50      +14,00          10            12        −2       4
2024-04     +7,92      +12,24          12            11        +1       1
2024-05     +0,73       +6,85           6            10        −4      16
2025-03     +3,17       +3,11           8             7        +1       1
Suma                                                                              82

Los cálculos y la decisión

Σd² = 82                                                 (suma de las diferencias de rangos al cuadrado)
rs = 1 − 6×82/(12×(12² − 1)) = 1 − 492/1.716 = 0,7133            (coeficiente de correlación de rangos)
t = rs√((n − 2)/(1 − rs²)) = 0,7133×√(10/(1 − 0,5088)) = 3,218        (estadístico de prueba, con n − 2 = 10 gl)
Valor crítico: ±2,228                                      (t con 10 gl, α = 0,05, dos colas)
|t| = 3,218 > 2,228                                        (cae en la región de rechazo: se rechaza H₀)
p = 0,0092                                                    (valor p de dos colas)

Se rechaza la ausencia de asociación: los meses en que el oro tiene variaciones altas coinciden, en general, con los meses de variaciones altas de la plata. Con rs = 0,71 la asociación es fuerte (escala del tema siguiente); su signo positivo indica que se mueven en el mismo sentido. Como siempre, asociación no es causalidad: ambos metales responden a factores comunes como el dólar y las tasas de interés.

Pearson frente a Spearman. La correlación lineal es r = 0,747 (p = 0,0052), un valor parecido al de Spearman: con datos casi simétricos y sin valores extremos, las dos medidas cuentan la misma historia. Spearman marcaría la diferencia si hubiera un mes extremo que arrastrara a r, o si la relación fuera creciente pero curva, porque usa solo el orden. Su eficiencia relativa frente a la correlación lineal es de 0,91.

Cómo graduar la fuerza de la asociación

El valor p responde si la asociación es real; el coeficiente responde cuán fuerte es. Una escala orientativa de uso común para |rs| (y también para |r|):

|rs| o |r|                  Lectura        Qué indica
menos de 0,20              muy débil      casi no hay asociación
0,20 a menos de 0,40       débil          asociación leve
0,40 a menos de 0,60       moderada       asociación apreciable
0,60 a menos de 0,80       fuerte         asociación clara
0,80 o más                 muy fuerte     los órdenes casi coinciden

Con rs = 0,71, la asociación entre las variaciones del oro y de la plata es fuerte; con r = 0,75, también fuerte. Una correlación puede ser significativa y a la vez débil (con muchos datos) o fuerte y no significativa (con pocos datos): por eso se mira siempre el coeficiente y su valor p, no uno solo. Además, elevar rs al cuadrado da una idea de la fracción de variación compartida: 51% con estos datos.

Preguntas para pensar

• El oro y la plata tienen una correlación de rangos alta. ¿Qué factores comunes podrían explicarla y qué pasaría con la correlación entre el oro y el precio de un producto agrícola?
• Una relación puede ser claramente creciente pero no lineal (por ejemplo, exponencial). ¿Cuál de las dos correlaciones la captaría mejor y por qué?