H.4 La prueba de suma de rangos de Wilcoxon (U de Mann-Whitney)

Oro en 2021 y en 2025: ¿distribuciones distintas sin suponer normalidad?

En G.3 se vio que 2025 se separaba de 2021 con el ANOVA y la corrección de Bonferroni. Esa comparación supone poblaciones aproximadamente normales con varianzas parecidas. La prueba de la suma de rangos de Wilcoxon (equivalente a la U de Mann-Whitney) compara dos muestras independientes sin esos supuestos: mezcla las 24 observaciones, las ordena y se fija en dónde caen los rangos de cada año. Si las dos poblaciones fueran idénticas, los rangos altos y bajos se repartirían parejo entre las dos muestras.

Los meses de 2025 suman rangos R = 203, frente a 97 de 2021 (el total es 300). Si H₀ fuera cierta, R rondaría 150. El estadístico es z = 3,06 y el valor p, 0,0022.

p = 0,0022

es el valor p de la prueba de suma de rangos de Wilcoxon (U de Mann-Whitney) que compara la variación mensual del oro de 2021 con la de 2025, 12 meses cada una; R = 203, z = 3,06.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; años y cálculo propios.

La idea de los rangos combinados

Si se extraen dos muestras de poblaciones idénticas y los valores se clasifican como una sola colección, los rangos alto y bajo deberían coincidir entre las dos muestras. Si los rangos bajos están casi todos en una y los altos en la otra, las poblaciones difieren. La hipótesis nula es que las medianas son iguales (más exactamente, que las dos poblaciones son idénticas).

Procedimiento:

1. Combinar las dos muestras en una sola lista y asignar rangos del 1 al N (promedio en los empates).
2. Sumar los rangos de una de las muestras: R (aquí, la de 2025, de tamaño n₁ = 12).
3. Si las poblaciones fueran idénticas, R tendría una distribución aproximadamente normal cuando n₁ y n₂ son mayores que 10, con:

μ_R = n₁(n₁ + n₂ + 1)/2                                         (media de R si H₀ es cierta)
σ_R = √(n₁n₂(n₁ + n₂ + 1)/12)                                   (desviación estándar de R)
z = (R − μ_R)/σ_R                                               (estadístico de prueba)

Los 24 valores ordenados, con su año y su rango:

Rango    Variación (%)    Año        Rango    Variación (%)    Año
   1          −4,974     2021         13          +1,942     2025
   2          −3,150     2021         14          +2,048     2025
   3          −1,845     2021         15          +2,441     2021
   4          −1,498     2021         16          +2,529     2021
   5          −1,280     2021         17          +2,532     2025
   6          −1,131     2021         18          +3,174     2025
   7          −0,376     2021         19          +5,329     2021
   8          −0,305     2025         20          +5,598     2025
   9          −0,022     2021         21          +6,904     2025
  10          +0,594     2021         22          +7,895     2025
  11          +0,741     2025         23          +8,888     2025
  12          +0,766     2025         24         +10,600     2025

Los cálculos y la decisión

R = 203                                                    (suma de los rangos de 2025: sus doce meses ocupan rangos altos)
μ_R = 12×(12 + 12 + 1)/2 = 150                                (valor esperado de R si H₀ es cierta)
σ_R = √(12×12×25/12) = 17,321                                   (desviación estándar de R)
z = (203 − 150)/17,321 = 3,060                                   (estadístico de prueba)
p = 2 × P(Z > 3,060) = 0,0022                              (valor p de dos colas)

Se rechaza H₀ al 5% y también al 1%: la variación mensual del oro en 2025 se distribuye distinto que en 2021. La suma de rangos de 2021, 97, es la contraparte: 203 + 97 = 300 = 24 × 25/2.

Relación con U. La U de Mann-Whitney cuenta cuántas veces un dato de una muestra supera a uno de la otra: U = R − n₁(n₁ + 1)/2 = 203 − 78 = 125. La prueba es la misma, solo cambia la forma del estadístico.

Comparación con la prueba t (Welch): t = 3,44 con p = 0,0025: el mismo veredicto. Aquí los datos son casi normales y las dos pruebas coinciden; la de rangos, además, seguiría siendo válida con valores extremos.

Preguntas para pensar

• Dos grupos de clientes califican un servicio de 1 a 5. ¿Por qué la suma de rangos es más adecuada que una prueba t para comparar sus calificaciones?
• La prueba de suma de rangos y la prueba t coinciden con los datos del oro. ¿En qué tipo de datos esperarías que dieran resultados distintos?