H.3 La prueba de rangos con signo de Wilcoxon

Oro menos plata, otra vez: ahora importa cuánto se separan, no solo el signo

Con las mismas 20 diferencias mensuales entre la variación del oro y la de la plata de H.2, la prueba del signo no rechazó (p = 0,115). Pero esas diferencias no son todas iguales: algunas son de unas décimas y otras, de más de 25 puntos porcentuales. La prueba de rangos con signo de Wilcoxon conserva esa información de forma parcial: ordena las diferencias por tamaño (sin signo), les asigna rangos y luego suma los rangos de las positivas y de las negativas. Si H₀ (mediana 0) fuera cierta, las dos sumas deberían parecerse.

Aquí T = 47 (la menor de las dos sumas, 47 y 163) y el valor p aproximado es 0,030.

T = 47

es la menor de las sumas de rangos con signo de las 20 diferencias entre la variación del oro y la de la plata (positivas: 47; negativas: 163); valor p aproximado 0,030.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales de oro y plata; muestra y cálculo propios.

El procedimiento paso a paso

Se prueba la hipótesis nula de que los datos pareados pertenecen a una población de pares relacionados con diferencias que tienen una mediana igual a cero. Pasos:

1. Calcular la diferencia d de cada par y descartar las que valgan 0.
2. Ordenar las diferencias de menor a mayor sin tomar en cuenta el signo y asignarles rangos (los empates reciben el promedio).
3. Volver a adjuntar a cada rango el signo de su diferencia.
4. Sumar por separado los rangos positivos (T₊) y los negativos (T₋). El estadístico T es la menor de las dos sumas.
5. Comparar T con el valor crítico (tablas para muestras pequeñas) o, con n grande, con la aproximación normal.

Los datos del caso, con sus rangos:

Mes    d (pp)     |d|     Rango de |d|    Rango con signo
  1     −8,24     8,24         17             −17
  2     −8,74     8,74         18             −18
  3    −25,13    25,13         20             −20
  4     +1,49     1,49          5              +5
  5     −1,10     1,10          4              −4
  6     −3,46     3,46         10             −10
  7     −8,77     8,77         19             −19
  8     −1,81     1,81          7              −7
  9     +2,57     2,57          9              +9
 10     +1,63     1,63          6              +6
 11     +6,50     6,50         15             +15
 12     +3,47     3,47         11             +11
 13     −2,42     2,42          8              −8
 14     −0,27     0,27          2              −2
 15     −4,33     4,33         12             −12
 16     −0,98     0,98          3              −3
 17     −7,96     7,96         16             −16
 18     −5,11     5,11         13             −13
 19     +0,05     0,05          1              +1
 20     −5,67     5,67         14             −14

Los cálculos y la decisión

Comprobación: T₊ + T₋ debe ser n(n + 1)/2 = 210; aquí 47 + 163 = 210. Si H₀ es cierta, T₊ tiende a ser la mitad de ese total, y su distribución se aproxima a una normal cuando n es grande (desde unos 20 pares):

μ_T = n(n + 1)/4 = 20×21/4 = 105                               (valor esperado de T si H₀ es cierta)
σ_T = √(n(n + 1)(2n + 1)/24) = √(20×21×41/24) = 26,786      (desviación estándar de T)
z = (T − μ_T)/σ_T = (47 − 105)/26,786 = −2,165                  (estadístico normal estándar)
p = 2 × P(Z < −2,165) = 0,0304                                   (valor p de dos colas)

Se rechaza H₀ al 5% (0,030 < 0,05): la mediana de las diferencias entre el oro y la plata no es 0, con la plata subiendo más en esta muestra. El valor exacto calculado con la distribución completa de T es 0,0296, casi idéntico al aproximado.

Los tres análisis de las mismas 20 diferencias:

Prueba                         Información que usa                        Valor p
Signo                          solo el signo                              0,1153
Rangos con signo (Wilcoxon)    signo y orden del tamaño                   0,0304
t de muestras pareadas         signo y valores exactos                    0,0341

Con más información, la prueba detecta lo que la anterior no veía. Si las diferencias fueran muy asimétricas o con valores extremos, los rangos protegerían de que unos pocos valores gigantes dominen el resultado; con diferencias normales, la t es algo más potente.

Preguntas para pensar

• Con 8 pares, ¿alcanzaría la aproximación normal? ¿Qué se necesitaría en su lugar?
• Si una sola diferencia fuera enorme (por ejemplo 60 puntos porcentuales), ¿cómo afectaría a la prueba t y a la de rangos con signo? ¿Cuál preferirías?