H.2 La prueba del signo

Solo los signos: ¿la mitad de las veces el oro supera a la plata?

En 20 meses elegidos al azar se calculó la diferencia entre la variación del oro y la variación de la plata (oro menos plata, en puntos porcentuales). En 6 meses la diferencia fue positiva (el oro subió más, o bajó menos) y en 14, negativa. Si no hubiera ventaja de un metal sobre otro, los dos signos serían igual de probables, como cara y cruz de una moneda. ¿Son 14 negativas en 20 meses «demasiadas» para atribuirlas al azar?

La prueba del signo responde con una distribución binomial: es la forma más simple de prueba no paramétrica, porque ignora el tamaño de las diferencias y mira solo su signo. Aquí el valor p es 0,115.

p = 0,115

es el valor p de la prueba del signo bilateral para 14 signos negativos y 6 positivos en 20 diferencias entre la variación del oro y la de la plata.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales de oro y plata; muestra y cálculo propios.

El procedimiento de la prueba del signo

Se reemplaza cada dato (o cada diferencia) por su signo y se analizan las frecuencias de los signos. Sirve para tres situaciones: pares relacionados (H₀: la mediana de las diferencias es 0), una sola muestra (H₀: la mediana es un valor dado, y cada dato se compara con él) y datos nominales con dos categorías (H₀: p = 0,5).

Si H₀ es cierta, cada signo es + o − con probabilidad 1/2, y el número de signos menos frecuentes sigue una binomial con p = 0,5. Los pasos:

1. H₀: la mediana es 0; H₁: la mediana es distinta de 0 (prueba bilateral).
2. Se descartan los ceros, que no tienen signo, y se cuentan los signos positivos y negativos; n es el total de signos.
3. Estadístico de prueba: x, el número de signos del tipo menos frecuente.
4. Valor p: el doble de P(X ≤ x), con X binomial de parámetros n y 0,5 (se duplica por ser de dos colas).
5. Se rechaza H₀ si el valor p es menor o igual que α.

Con una muestra: ¿la mediana de las variaciones del oro es 0?

La muestra de 10 variaciones mensuales del oro de E.3 tiene 9 valores positivos y 1 negativo. Entonces x = 1 y n = 10:

P(X ≤ 1) = C(10,0)·0,5¹⁰ + C(10,1)·0,5¹⁰ = (1 + 10)/1.024 = 0,01074     (probabilidad acumulada de la binomial con n = 10)
p = 2 × 0,01074 = 0,0215                              (se duplica porque la prueba es de dos colas)

Como 0,0215 < 0,05, se rechaza H₀: la mediana de las variaciones del oro no es 0. Compárese con la prueba t de E.3 (p = 0,0069): ambas rechazan, pero la del signo, que ignora los valores exactos, es menos contundente.

Con pares: oro frente a plata en 20 meses

Las diferencias (oro menos plata, en puntos porcentuales) de los 20 meses:

Mes        1      2      3      4      5      6      7      8      9     10     11     12     13     14     15     16     17     18     19     20
d       -8.2   -8.7  -25.1    1.5   -1.1   -3.5   -8.8   -1.8    2.6    1.6    6.5    3.5   -2.4   -0.3   -4.3   -1.0   -8.0   -5.1    0.1   -5.7
Signo      −      −      −      +      −      −      −      −      +      +      +      +      −      −      −      −      −      −      +      −

n = 6 + 14 = 20                                              (diferencias distintas de cero)
x = 6                                                          (signos del tipo menos frecuente: los positivos)
P(X ≤ 6) con n = 20 y p = 0,5 = 0,05766                         (cola izquierda de la binomial)
p = 2 × 0,0577 = 0,1153                                   (prueba de dos colas)

No se rechaza H₀ al 5% (0,115 > 0,05): con solo los signos, no hay evidencia suficiente de que un metal supere al otro. Pero con las mismas diferencias, la prueba t pareada de E.5 sí rechazó (p = 0,034) y la de rangos con signo de Wilcoxon (próximo tema) da p = 0,030. La prueba del signo es la que menos información usa: no distingue una diferencia de 0,1 de una de 12 puntos. Eso explica que sea la menos potente de las tres.

Preguntas para pensar

• La prueba del signo no rechaza y la t pareada sí, con las mismas 20 diferencias. ¿Qué conclusión comunicarías, y qué verificarías antes de elegir una de las dos pruebas?
• ¿Cuándo es preferible la prueba del signo aunque tenga menos potencia? Piensa en datos de calificaciones de satisfacción (muy bueno, bueno, regular, malo).