G.4 Análisis de varianza de dos factores

¿Importa el año, importa el metal? Dos factores a la vez

Se calculó, para el oro, la plata y el cobre, la variación mensual media de cada año de 2021 a 2025 (12 meses por año). Resultan 15 números ordenados en una tabla de 5 años × 3 metales. Hay dos preguntas distintas: ¿el rendimiento medio cambia de un año a otro? ¿Cambia de un metal a otro? Un análisis de varianza de un factor respondería una sola; el de dos factores separa los dos efectos en un solo análisis.

Resultado: el año tiene efecto (F = 5,96, p = 0,0159) y el metal no lo tiene de forma apreciable (F = 0,76, p = 0,50).

p = 0,0159

es el valor p del efecto del año sobre la variación mensual media de oro, plata y cobre en 2021-2025, con un análisis de varianza de dos factores (F = 5,96).

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales de oro, plata y cobre; promedios anuales y cálculo propios.

El diseño y la descomposición

Cada celda de la tabla es el promedio de las 12 variaciones mensuales de un metal en un año. Con una observación por celda, la variación total se reparte en tres partes: lo que se debe a los años (filas), lo que se debe a los metales (columnas) y lo que queda sin explicar (el error). Como en Triola, no conviene hacer dos ANOVA de un factor por separado: ese método desperdicia información. La tabla de datos, con sus medias:

Año          Oro        Plata        Cobre     Media del año
2021      −0,282       −0,733        1,816            0,267
2022       0,107        0,531       −0,892           −0,085
2023       1,072        0,396        0,095            0,521
2024       2,240        2,113        0,581            1,645
2025       4,232        6,806        2,433            4,490
Media del metal     1,474        1,823        0,807            1,368

Las sumas de cuadrados paso a paso

Con a = 5 años, b = 3 metales, N = 15 celdas y media general M = 1,3676:

SCA = b Σ (x̄ᵢ − M)²                                             (suma de cuadrados de los años, con x̄ᵢ la media de cada año)
SCA = 3 × [(−1,101)² + (−1,453)² + (−0,847)² + (0,277)² + (3,123)²] = 41,601      (desvíos de las medias anuales respecto de M)
SCB = a Σ (x̄ⱼ − M)²                                             (suma de cuadrados de los metales, con x̄ⱼ la media de cada metal)
SCB = 5 × [(0,106)² + (0,455)² + (−0,561)²] = 2,664          (desvíos de las medias por metal respecto de M)
SCT = Σ (x − M)² = 58,233                                   (suma de cuadrados total: las 15 celdas respecto de M)
SCE = SCT − SCA − SCB = 58,233 − 41,601 − 2,664 = 13,968      (lo que queda sin explicar)

Grados de libertad: años a − 1 = 4; metales b − 1 = 2; error (a − 1)(b − 1) = 8; total N − 1 = 14. Cada F usa el cuadrado medio del error en el denominador:

F_A = CMA/CME = 10,400/1,746 = 5,957                     (los grados de libertad son 4 y 8)
F_B = CMB/CME = 1,332/1,746 = 0,763                    (los grados de libertad son 2 y 8)

Valores críticos al 5%: 3,838 para los años (con 4 y 8 gl) y 4,459 para los metales (con 2 y 8 gl). Los años: 5,957 > 3,838, se rechaza la igualdad de medias (p = 0,0159). Los metales: 0,763 < 4,459, no se rechaza (p = 0,497). La tabla ANOVA completa:

Fuente                SC           gl     CM          F        Valor p
Año                41,601         4      10,400      5,957      0,0159
Metal               2,664         2       1,332      0,763      0,4975
Error              13,968         8       1,746
Total              58,233         14

Por qué el segundo factor mejora el análisis

Si se comparan solo los tres metales con un ANOVA de un factor, ignorando el año, la variación entre años queda dentro del error y F cae a 0,288 (p = 0,755). En el análisis de dos factores, la variación debida a los años (41,60, de un total de 58,23) se separa del error: este baja de 55,57 a 13,97 y se puede juzgar con precisión el efecto de cada factor. Esta es la idea de los bloques: el año es una fuente de variación que no es de interés en sí misma pero que conviene controlar para comparar los metales de forma más precisa.

Limitación importante. Con una sola observación por celda no se puede estimar la interacción (si el efecto del año es distinto en cada metal). Aquí se supone que el efecto de los años es el mismo para los tres metales; en la plata, por ejemplo, el aumento de 2025 (6,81%) fue mucho mayor que en el cobre (2,43%), señal de que el supuesto no es del todo cierto. Para probar interacción hace falta más de una observación por celda.

El resultado en una frase. El rendimiento medio mensual cambió de un año a otro, con 2025 muy por encima de los demás; entre los tres metales, con los datos disponibles, no hay evidencia de diferencias sistemáticas una vez controlado el año.

Preguntas para pensar

• El análisis dice que el año importa pero el metal no. ¿Qué evento económico de 2025 podría explicar el salto de rendimiento común a los tres metales? ¿Qué otro dato necesitarías para comprobarlo?
• La plata subió mucho más que el cobre en 2025. ¿Qué diría eso sobre el supuesto de que el efecto del año es el mismo en cada metal? ¿Cómo se diseñaría una toma de datos para probar la interacción?