G.3 Comparaciones por parejas y requisitos del análisis de varianza

El ANOVA rechazó la igualdad de los cinco años del oro: ¿cuáles difieren?

El análisis de varianza del tema anterior rechazó que el rendimiento medio mensual del oro fuera igual en 2021-2025. Pero esa conclusión solo dice que alguna media difiere. ¿Es 2025 distinto de todos los demás años? ¿Se distingue 2021 de 2022? Y antes: ¿se cumplen los requisitos que respaldan el resultado?

El ejemplo de los cinco años del oro pasa los requisitos (la mayor varianza anual es 1,8 veces la menor, dentro de lo tolerable). En cambio, un caso en apariencia igual —la inflación mensual de 2023, 2024 y 2025— rechaza igualmente (F = 6,96, p = 0,0030), pero sus varianzas anuales difieren en un factor de 22,8: ahí el resultado no es de fiar.

22,8 veces

es cuánto mayor es la varianza de la inflación mensual de 2025 que la de 2023 (desviaciones de 1,46% y 0,31%): una diferencia que supera lo que el análisis de varianza tolera.

Fuente: INE, IPC general mensual, base 2016=100, 2023 a 2025; cálculo propio.

Después de rechazar: comparar parejas sin inflar el error

La prueba global no indica qué medias difieren. Para averiguarlo se comparan las parejas, pero con dos cuidados:

1. Se usa el cuadrado medio dentro (CMD) del ANOVA como estimación común de la varianza: usa todos los datos y tiene N − k = 55 grados de libertad.
2. Se ajusta por el número de comparaciones (Bonferroni): con 5 grupos hay 10 parejas, y el nivel de cada una se reduce a α/10 = 0,005 (o, de forma equivalente, se multiplica por 10 el valor p de cada una).

t = (x̄ᵢ − x̄ⱼ)/√(CMD(1/nᵢ + 1/nⱼ))                               (estadístico para la pareja i, j)
e = √(10,022 × (1/12 + 1/12)) = 1,2924                              (error estándar, igual para todas las parejas porque los n son iguales)
d = 2,925 × 1,2924 = 3,780                                (diferencia mínima significativa: t con 55 gl que deja 0,0025 por cola)

Con los cinco años del oro:

Pareja          Diferencia     t        Valor p     Valor p ajustado (× 10)
2021-2022        −0,389     −0,301     0,7648           1,0000
2021-2023        −1,354     −1,047     0,2995           1,0000
2021-2024        −2,522     −1,951     0,0561           0,5613
2021-2025        −4,514     −3,493     0,0010           0,0095
2022-2023        −0,965     −0,747     0,4584           1,0000
2022-2024        −2,133     −1,651     0,1045           1,0000
2022-2025        −4,125     −3,192     0,0023           0,0234
2023-2024        −1,168     −0,904     0,3700           1,0000
2023-2025        −3,160     −2,445     0,0177           0,1770
2024-2025        −1,992     −1,541     0,1289           1,0000

Una pareja es significativa si su diferencia supera 3,78 puntos porcentuales o, equivalentemente, si su valor p ajustado es menor que 0,05. Resultan significativas: 2021 frente a 2025, 2022 frente a 2025. El año 2025, con su media de 4,23%, se separa de 2021 y de 2022; los demás años no se distinguen entre sí con esta exigencia.

Comparar parejas de a una, sin ajuste, engaña

Si en lugar de ajustar se usara α = 0,05 en cada pareja, cualquier pareja con valor p menor que 0,05 se declararía significativa: eso incluye además las parejas con p entre 0,005 y 0,05, que el ajuste descarta. En esta tabla, sin ajuste serían significativas 3 parejas; con el ajuste de Bonferroni, 2. La diferencia son comparaciones que, con tantas pruebas hechas a la vez, se esperaría que salieran «significativas» solo por azar.

Con dos grupos, F es el cuadrado de t

Con solo dos grupos, el análisis de varianza coincide con la prueba t de dos muestras con varianza común. Con 2024 y 2025 (12 meses cada uno): t = −1,441 con 22 gl y F = 2,077 con 1 y 22 gl; en efecto, −1,441² = 2,077. Los valores p son idénticos: 0,1636. El ANOVA generaliza la prueba t a tres o más grupos.

Los requisitos y cuándo no se cumplen

El análisis de varianza de un factor exige muestras aleatorias independientes, poblaciones aproximadamente normales y varianzas iguales. Los dos últimos requisitos son poco estrictos:

Aplicación: ¿es fiable el ANOVA de la inflación?

Con la inflación mensual de 2023, 2024 y 2025 (12 meses cada año), las medias y las desviaciones son:

Año     Media (%)     Desviación (%)     Varianza
2023       0,175           0,307        0,094
2024       0,797           0,529        0,280
2025       1,569           1,465        2,146

Los tamaños son iguales, así que se aplica la regla: la varianza mayor (2,146) es 22,8 veces la menor (0,094), mucho más que las 9 veces que se toleran. El F de 6,96 (p = 0,0030) está calculado sobre una base que no se sostiene. Qué hacer: (1) transformar los datos (por ejemplo, con logaritmos) para estabilizar la varianza; (2) usar un método que no la suponga igual, como el ANOVA de Welch; o (3) usar una prueba no paramétrica, la de Kruskal-Wallis, que se verá en la sección H. La conclusión de que la inflación subió año tras año probablemente sea cierta, pero el valor de F no es la mejor forma de respaldarla.

Preguntas para pensar

• Un colega aplica el ANOVA, rechaza H₀ y afirma que «el grupo 3 es el mejor». ¿Qué le responderías y qué procedimiento adicional le sugerirías?
• Si el ANOVA no se puede aplicar porque las varianzas son muy distintas, ¿qué alternativas existen? ¿Qué se pierde al elegir una prueba que no supone normalidad?