G.2 Análisis de varianza de un factor

Sesenta meses de oro, cinco años: ¿cambió el rendimiento medio?

Se tienen las variaciones mensuales del precio del oro de 2021 a 2025, 12 meses por año. Los promedios anuales van de −0,28% a 4,23%, pero la dispersión dentro de cada año también es grande (desviaciones de 2,70% a 3,61%). ¿Alcanzan esas diferencias para afirmar que el rendimiento medio no fue el mismo en los cinco años?

El análisis de varianza de un factor responde con una sola prueba. El factor es el año; la variable, la variación mensual. Resultado: F = 3,98 con 4 y 55 grados de libertad, y un valor p de 0,0066.

p = 0,0066

es el valor p del análisis de varianza de la variación mensual del oro entre los años 2021 a 2025 (F = 3,98 con 4 y 55 grados de libertad).

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; años y cálculo propios.

El procedimiento completo, a partir de los resúmenes

El análisis de varianza de un factor es un método para probar la igualdad de tres o más medias poblacionales mediante el análisis de varianzas muestrales. No hace falta volver a los 60 datos: bastan el tamaño, la media y la desviación de cada grupo.

Paso 1. Hipótesis: H₀: μ₂₀₂₁ = μ₂₀₂₂ = … = μ₂₀₂₅; H₁: al menos una media difiere. α = 0,05.

Paso 2. Media general. Con los grupos del mismo tamaño es el promedio de las cinco medias: M = 1,4737.

Paso 3. Suma de cuadrados entre grupos y dentro de los grupos. A partir de las fórmulas SCE = Σ n(x̄ − M)² y SCD = Σ (n − 1)s²:

Año     n     Media x̄     Desviación s     n(x̄ − M)²     (n − 1)s²
2021    12     −0,2819        2,7556          36,985        83,528
2022    12      0,1067        3,5054          22,423       135,163
2023    12      1,0717        2,7025           1,939        80,339
2024    12      2,2398        3,1440           7,044       108,731
2025    12      4,2320        3,6111          91,300       143,442
Suma                                                    159,690       551,202

SCE = 159,690                                              (cuánto se separan las medias anuales de la media general)
SCD = 551,202                                              (variación de los meses alrededor de la media de su año)
SCT = SCE + SCD = 710,893                                    (variación total de los 60 meses respecto de M)

Paso 4. Grados de libertad y cuadrados medios:

CME = SCE/(k − 1) = 159,690/4 = 39,9226                    (los grados de libertad son k − 1 = 4)
CMD = SCD/(N − k) = 551,202/55 = 10,0219                    (los grados de libertad son N − k = 55)
F = CME/CMD = 39,9226/10,0219 = 3,9836                    (estadístico de prueba)

Paso 5. Decisión. El valor crítico con 4 y 55 grados de libertad al 5% es 2,540; como 3,984 > 2,540, se rechaza H₀ (valor p = 0,0066). Hay evidencia de que el rendimiento medio del oro no fue el mismo todos los años.

Todo se resume en la tabla ANOVA:

Fuente                      Suma de cuadrados     gl     Cuadrado medio       F
Entre grupos (años)              159,690          4           39,923      3,984
Dentro de los grupos             551,202         55           10,022
Total                            710,893         59

Cómo leer el resultado

Qué dice el rechazo. Que las cinco medias no son todas iguales; no dice cuáles difieren (eso se ve en el tema siguiente). Sobre la base de la prueba, no se puede afirmar que una media particular sea diferente de las otras.

Cuánto explica el factor. La proporción de la variación total que se debe a las diferencias entre años es SCE/SCT = 159,690/710,893 = 0,225, es decir, 22,5%. El resto, 77,5%, es la variación de un mes a otro dentro de cada año. Un resultado estadísticamente significativo no implica que el factor explique mucho: significancia y tamaño del efecto son cosas distintas. Para graduar el tamaño, una escala orientativa de uso común para SCE/SCT (y para R²) es:

SCE/SCT                  Lectura           Qué indica
menos de 0,01              insignificante    el factor casi no explica la variación
0,01 a menos de 0,06       pequeña           explica una parte mínima
0,06 a menos de 0,14       mediana           explica una parte apreciable
0,14 o más                 grande            explica una parte importante

Con 0,225, el año explica una fracción grande según esa escala, aunque más de tres cuartas partes de la variación mensual del oro sigue sin explicarse con el año.

El valor p. Es la probabilidad de obtener un F tan grande como 3,98 si las cinco medias poblacionales fueran iguales: 0,0066, es decir, menos de 1 de cada 100.

Preguntas para pensar

• El año explica una fracción grande, pero no mayoritaria, de la variación mensual del oro. ¿Qué otras variables (tipo de cambio, tasas de interés, tensiones geopolíticas) podrían explicar el resto, y cómo se incorporarían a un análisis?
• Si en lugar de años se compararan los 12 meses del calendario (enero, febrero…) con un solo dato por mes, ¿se podría aplicar el mismo método? ¿Qué problema aparecería?