G.1 La idea del análisis de varianza y la distribución F

El oro rindió distinto cada año: ¿diferencias reales o azar?

La variación mensual media del precio del oro (FMI) fue de −0,28% en 2021, 0,11% en 2022, 1,07% en 2023, 2,24% en 2024 y 4,23% en 2025, con 12 meses por año. Las medias son distintas, pero los meses de cada año también varían mucho entre sí (desviaciones de 2,7% a 3,6%). La pregunta es si la diferencia entre los años es mayor de lo que cabe esperar por la variación dentro de cada año.

Comparar los cinco años de a pares exigiría 10 pruebas t. Si cada una se hace al 5% y fueran independientes, la probabilidad de equivocarse al menos una vez en las diez sería de 1 − 0,95¹⁰ = 40,1%. El análisis de varianza hace una sola prueba para todos los años: da F = 3,98 y un valor p de 0,0066.

F = 3,98

es el estadístico del análisis de varianza para comparar la variación mensual media del oro en los cinco años de 2021 a 2025 (12 meses por año); su valor p es 0,0066.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; años y cálculo propios.

La idea: dos estimaciones de una misma varianza

Se quiere contrastar H₀: μ₁ = μ₂ = … = μ_k (todas las medias son iguales) frente a H₁: no todas son iguales. El razonamiento es sorprendente: se comparan medias analizando varianzas.

Si H₀ fuera cierta, los datos de todos los grupos serían una sola muestra de una población con varianza σ², y esa varianza puede estimarse de dos maneras distintas:

- Entre grupos: a partir de cuánto se separan las medias de los grupos entre sí. Si las medias verdaderas son iguales, esta estimación solo refleja el azar del muestreo. Si no lo son, se infla.
- Dentro de los grupos: a partir de cuánto varían los datos alrededor de la media de su propio grupo. Esta estimación no depende de si las medias son iguales: mide solo la variación individual.

Ambas estiman σ² cuando H₀ es cierta, así que su cociente debe ser cercano a 1. Si las medias difieren, la estimación entre grupos crece y el cociente se dispara. Ese cociente es el estadístico F:

F = CME/CMD                                                     (cuadrado medio entre grupos entre cuadrado medio dentro)
CME = SCE/(k − 1)                                               (estimación entre grupos: k grupos)
CMD = SCD/(N − k)                                               (estimación dentro: N observaciones en total)

SCE y SCD son sumas de cuadrados; CME y CMD, los cuadrados medios (una suma de cuadrados dividida por sus grados de libertad, como una varianza). En palabras de Levin y Rubin:

Un ejemplo pequeño, completo y a mano

Tres métodos (A, B y C) con tres observaciones cada uno: A = (4, 6, 5), B = (8, 9, 10), C = (5, 7, 6). Las medias son 5, 9 y 6, y la media general es M = 6,6667.

SCE = Σ n(x̄ − M)²                                              (suma de cuadrados entre grupos)
SCE = 3(5 − 6,667)² + 3(9 − 6,667)² + 3(6 − 6,667)² = 26,000      (cada media pesa tres observaciones)
SCD = Σ Σ (x − x̄)²                                              (suma de cuadrados dentro de los grupos)
SCD = (1 + 0 + 1) + (1 + 0 + 1) + (1 + 1 + 0) = 6,000                (desviaciones de cada dato respecto de su grupo)
SCT = SCE + SCD = 26 + 6 = 32                          (suma de cuadrados total: la variación total se reparte)
CME = 26/2 = 13,000                                      (los grados de libertad son k − 1 = 2)
CMD = 6/6 = 1,000                                      (los grados de libertad son N − k = 6)
F = 13,000/1,000 = 13,000                                    (estadístico de prueba)

La variación total (SCT = 32) se descompone exactamente en la parte atribuible a las diferencias entre los métodos (26) y la parte que es variación individual (6). El valor crítico con 2 y 6 grados de libertad al 5% es 5,143; como 13,00 > 5,14, se rechaza H₀ (valor p = 0,0066): los métodos no rinden lo mismo.

La prueba es siempre de cola derecha: solo un F grande, es decir, medias muy separadas en comparación con la variación individual, contradice H₀. Un F cercano a 0 no tiene nada de extraordinario.

Preguntas para pensar

• Un analista tiene cinco grupos y hace diez pruebas t al 5%, comunicando solo las que salen significativas. ¿Qué problema tiene este procedimiento y cómo lo resolvería el análisis de varianza?
• Si las medias de los grupos fueran muy distintas pero cada grupo tuviera muchísima variación interna, ¿qué le pasaría al estadístico F? ¿Y si la variación interna fuera casi nula?