F.6 Interpretación de resultados: residuos, supuestos y límites del modelo

El modelo del gasto está estimado: ¿se puede confiar en sus pruebas y en sus intervalos?

Las pruebas t, la prueba F y los intervalos de F.4 solo valen si el modelo cumple ciertas condiciones sobre sus errores. El análisis de los residuos (la diferencia e = y − ŷ entre lo observado y lo que predice el modelo) permite comprobarlas. Con el modelo del gasto sobre los ingresos tributarios y las ventas de YPFB, tres resultados:

- Los residuos no muestran autocorrelación: el estadístico de Durbin-Watson es 1,96, cercano a 2.
- Su distribución es razonablemente simétrica (asimetría 0,54, curtosis 0,25).
- Pero la dispersión de los residuos crece con el valor ajustado: la correlación de rangos entre |e| y ŷ es 0,60 (p = 0,0002). Hay indicios de heterocedasticidad, y los errores estándar y las pruebas t del modelo deben leerse con cautela.

DW = 1,96

es el estadístico de Durbin-Watson de los residuos de la regresión del crecimiento del gasto sobre el de los ingresos tributarios y el de las ventas de YPFB, Bolivia, 1991-2024 (un valor cercano a 2 indica ausencia de autocorrelación).

Fuente: MEFP, Estadísticas fiscales anuales, sector público no financiero, 1990-2024; variaciones y cálculo propios.

Los supuestos del modelo y cómo se revisan

El modelo y = β₀ + β₁x₁ + … + ε supone que los errores ε son independientes entre sí, tienen la misma varianza σ² (homocedasticidad) y siguen una distribución aproximadamente normal, y que la relación es lineal. Las comprobaciones sobre los residuos e = y − ŷ:

Supuesto                 Qué se revisa                              Resultado en el modelo del gasto
Independencia            Durbin-Watson: valores cerca de 2          DW = 1,962: sin autocorrelación de primer orden
Normalidad               asimetría y curtosis de los residuos       asimetría 0,54, curtosis 0,25: razonable
Varianza constante       |e| frente al valor ajustado               rs = 0,60, p = 0,0002: indicios de que crece
Valores atípicos         residuos con |e/s| mayor que 2             1 caso: 2007 (2,55)

Durbin-Watson. DW = Σ(eₜ − eₜ₋₁)²/Σeₜ². Un valor de 2 corresponde a una correlación de primer orden nula entre residuos consecutivos (DW ≈ 2(1 − r₁), con r₁ = −0,031); valores muy por debajo de 2 indican autocorrelación positiva, algo común en series de tiempo con tendencia. Aquí DW = 1,96: nada que corregir.

Varianza constante. Una forma sencilla de revisarla combina dos temas ya vistos: se calcula la correlación de rangos de Spearman (H.6) entre el valor absoluto de los residuos y los valores ajustados. Si la dispersión crece con el valor ajustado, la correlación es positiva y significativa. Aquí rs = 0,601, t = 4,25 con 32 gl, p = 0,0002: la correlación es fuerte según la escala de H.6 y significativa. Las predicciones son más inciertas cuando el gasto crece más.

Qué hacer. Con heterocedasticidad, los coeficientes siguen siendo no sesgados, pero los errores estándar no son confiables. Remedios habituales: transformar la variable (por ejemplo, con logaritmos), usar errores estándar robustos o mínimos cuadrados ponderados. Conviene informar el problema y contrastar las conclusiones con un método robusto.

Cómo leer la salida de un paquete estadístico

Los programas de cálculo (hojas, Minitab, SPSS, R) entregan los mismos números que se calcularon a mano en F.2 a F.4, en un formato estándar. La salida del modelo del gasto con las dos variables:

Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple        0,7632
Coeficiente de determinación R²            0,5825
R² ajustado                                0,5555
Error estándar                             6,694
Observaciones                              34

Análisis de varianza     gl     Suma de cuadrados     Cuadrado medio       F        Valor crítico de F
Regresión                 2           1.937,6              968,8       21,623        0,0000013
Residuos                 31           1.388,9               44,80
Total                    33           3.326,5

Variable                Coeficientes     Error típico         t         Probabilidad
Intercepción                 3,817           1,613     2,367      0,0244
Ingresos tributarios         0,4522           0,0879     5,144      < 0,0001
Ventas de YPFB               0,0385           0,0114     3,390      0,0019

Cómo leerla, de arriba hacia abajo:

1. R² y R² ajustado: qué fracción de la variación explica el modelo (58,2%). Se compara el ajustado cuando se agregan variables.
2. Error estándar (6,69 puntos): tamaño típico de un error de predicción; fija el ancho de los intervalos.
3. Tabla de análisis de varianza: la F de la regresión y su valor p (aquí 0,0000013) contestan si el modelo, en su conjunto, explica algo. En la salida de Excel, la columna «Valor crítico de F» es en realidad ese valor p, y la columna «Probabilidad» de los coeficientes es el valor p de cada prueba t.
4. Tabla de coeficientes: para cada variable, el coeficiente, su error típico, el estadístico t y el valor p. Se leen con la escala de E.1: los ingresos tributarios, altamente significativos; las ventas de YPFB, muy significativas; la constante, significativa.
5. Antes de confiar: revisar los residuos y la multicolinealidad (FIV).

La regla final: un modelo es un resumen de los datos, no una ley. Los análisis de regresión y correlación no determinan la causa y el efecto: que el gasto crezca más cuando crecen los ingresos tributarios no prueba que lo uno cause lo otro (ambos pueden responder a la inflación, a un ciclo de precios de materias primas o a decisiones de política). Y las predicciones solo valen dentro del rango de los datos usados; extrapolar a valores muy distintos de los observados es riesgoso.

Preguntas para pensar

• Los residuos del modelo del gasto muestran más dispersión cuando el valor ajustado es alto. ¿Qué factores económicos podrían explicar que el gasto sea más impredecible en los años de más crecimiento?
• Antes de presentar un modelo de regresión a un directorio, ¿qué cinco verificaciones harías y cuál comunicarías como limitación principal?