F.4 Inferencia en la regresión múltiple: prueba F, pruebas t y márgenes de error

El modelo explica 58% del gasto: ¿es esa relación real o producto del azar? ¿Y cada variable?

Con 34 años de datos, el modelo del crecimiento del gasto sobre el de los ingresos tributarios y el de las ventas de YPFB tiene R² = 0,582. Pero 34 años son una muestra y no toda la historia posible: otra muestra daría coeficientes distintos. Hay dos preguntas de inferencia: (1) ¿la regresión como un todo es significativa?, es decir, ¿al menos una de las variables explica algo?; (2) ¿cada variable lo es por separado?, una vez que la otra ya está en el modelo.

La prueba F de la regresión da F = 21,62 (p < 0,0001) y las pruebas t individuales dan t = 5,14 para los ingresos tributarios y t = 3,39 para las ventas de YPFB: ambas variables son significativas.

F = 21,6

es el estadístico F de la regresión del crecimiento anual del gasto total sobre el de los ingresos tributarios y el de las ventas de YPFB, Bolivia, 1991-2024 (2 y 31 grados de libertad; p < 0,0001).

Fuente: MEFP, Estadísticas fiscales anuales, sector público no financiero, 1990-2024; variaciones y cálculo propios.

La prueba F: ¿la regresión como un todo es significativa?

Se contrasta H₀: β₁ = β₂ = 0 (el gasto no depende de ninguna de las dos variables) frente a H₁: al menos un βᵢ ≠ 0. Es el mismo análisis de varianza de G: la variación total se divide en explicada (SCR) y residual (SCE), y se compara la explicada por cada grado de libertad con la residual:

CMR = SCR/k = 1.937,60/2 = 968,80                                (cuadrado medio de la regresión)
CME = SCE/(n − k − 1) = 1.388,93/31 = 44,804                      (cuadrado medio del error)
F = CMR/CME = 968,80/44,804 = 21,623                          (estadístico de prueba, con 2 y 31 gl)
Valor crítico: 3,305                                          (la F con 2 y 31 gl al 5%)

Como 21,62 > 3,30, se rechaza H₀ (p = 0,000001): hay evidencia de que la regresión como un todo es significativa. La tabla ANOVA de la regresión:

Fuente             Suma de cuadrados     gl     Cuadrado medio       F        Valor p
Regresión               1.937,60          2           968,80      21,623      0,000001
Residual                1.388,93         31           44,804
Total                   3.326,53         33

Si el cociente F es demasiado grande, se rechaza H₀ y se concluye que la regresión como un todo es significativa. Rechazar solo dice que alguna variable explica: no dice cuál; para eso están las pruebas t.

Las pruebas t: ¿cada variable es significativa?

Cada coeficiente se contrasta con H₀: βᵢ = 0 (la variable no aporta, con la otra ya en el modelo). El error estándar de cada coeficiente sale de la inversa del sistema de ecuaciones normales:

e₁ = √(CME·S₂₂/D) = √(44,804×352.697,37/2.044.536.806) = 0,0879                  (error estándar de b₁)
e₂ = √(CME·S₁₁/D) = √(44,804×5.897,52/2.044.536.806) = 0,01137                  (error estándar de b₂)
t₁ = b₁/e₁ = 0,4522/0,0879 = 5,144                               (estadístico de prueba de b₁)
t₂ = b₂/e₂ = 0,03853/0,01137 = 3,390                               (estadístico de prueba de b₂)
Valor crítico: ±2,040                                       (t con 31 gl, α = 0,05, dos colas)

Con n − k − 1 = 31 grados de libertad (se pierden k + 1 = 3 por los coeficientes estimados), ambos estadísticos superan el valor crítico: las dos variables son significativas. Probar la significancia de una variable explicativa es siempre una prueba de dos colas. La lectura de los valores p según la escala de E.1: p < 0,0001 para los ingresos tributarios (altamente significativo) y p = 0,0019 para las ventas de YPFB (muy significativo).

Margen de error: intervalos de confianza y de predicción

El intervalo de confianza del 95% para cada coeficiente es bᵢ ± t·eᵢ, con t = 2,040:

Variable                 Coeficiente     Error estándar         t         Valor p        Intervalo de confianza del 95%
Ingresos tributarios         0,4522          0,0879        5,144       < 0,0001        (0,273; 0,632)
Ventas de YPFB               0,0385          0,0114        3,390        0,0019        (0,0153; 0,0617)

El margen de error de b₁ es 0,179 puntos: la verdadera respuesta del gasto a un punto más de crecimiento de los ingresos tributarios, con YPFB constante, está entre 0,27 y 0,63 puntos, con 95% de confianza. Ningún intervalo contiene el 0, coherente con las pruebas t.

Predicción. Para x₁ = 15% y x₂ = 20%, la predicción es ŷ = 11,37%. Hay dos intervalos distintos:

Intervalo para la media de y: ŷ ± t·s_e·√(1/n + d′S⁻¹d) = 11,37 ± 2,040×6,694×√0,0304 = (8,99; 13,75)      (estima el promedio de y de todos los años con esos valores)
Intervalo de predicción para un año: ŷ ± t·s_e·√(1 + 1/n + d′S⁻¹d) = 11,37 ± 2,040×6,694×√1,0304 = (−2,49; 25,23)      (estima el valor de un año en particular, más amplio)

El intervalo para un año concreto es mucho más amplio porque, además de la incertidumbre sobre la recta, incluye la variación individual de cada año (s_e = 6,69 puntos). Con un error así, el modelo sirve para entender las relaciones, pero predice con poca precisión: un crecimiento del gasto «de −2% a 25%» es un rango muy amplio.

Preguntas para pensar

• La regresión explica 58% de la variación y las dos variables son significativas, pero el intervalo de predicción para un año es muy amplio. ¿Para qué sirve entonces este modelo y para qué no?
• Si el valor p de una variable fuera 0,12, ¿la quitarías del modelo? ¿Qué más mirarías (R² ajustado, teoría económica, el intervalo del coeficiente) antes de decidir?