F.3 Correlación múltiple, coeficiente de determinación y R² ajustado

¿Cuánto del gasto público explican los ingresos? Y ¿conviene seguir agregando variables?

Con los ingresos tributarios (x₁) como única explicativa, el modelo del crecimiento del gasto público explica 42,8% de su variación (R² = 0,428). Al agregar las ventas de YPFB (x₂), R² sube a 0,582: 58,2% explicado. ¿Y si se agrega una tercera variable, las exportaciones de hidrocarburos? R² sube apenas a 0,5826, un aumento de 0,01 puntos. R² nunca baja al agregar variables, aunque sean irrelevantes, de modo que no sirve para decidir si una variable merece quedarse. El R² ajustado corrige esa trampa: aquí baja de 0,5555 a 0,5409, avisando de que la tercera variable no aporta.

R² = 0,582

es el coeficiente de determinación de la regresión del crecimiento anual del gasto total sobre el de los ingresos tributarios y el de las ventas de YPFB, Bolivia, 1991-2024; R² ajustado = 0,556.

Fuente: MEFP, Estadísticas fiscales anuales, sector público no financiero, 1990-2024; variaciones y cálculo propios.

El coeficiente de determinación múltiple y la correlación múltiple

Como en la regresión simple, la variación total de y se divide en una parte explicada por la regresión y otra residual: SCT = SCR + SCE. El coeficiente de determinación es la fracción de la variación total de la variable dependiente que se explica con la ecuación de estimación:

R² = SCR/SCT = 1 − SCE/SCT                                      (fracción explicada de la variación de y)
R² = (1.937,60)/3.326,53 = 0,5825                              (con los datos del modelo de dos variables)
R = √R² = √0,5825 = 0,7632                              (coeficiente de correlación múltiple)

R es la correlación entre los valores observados de y y los valores ajustados ŷ; vale entre 0 y 1 (no tiene signo, porque con varias variables no hay una única dirección). Con dos explicativas se puede calcular también a partir de las correlaciones simples, r_y1 = 0,6540, r_y2 = 0,4755 y r₁₂ = 0,1306:

R² = (r_y1² + r_y2² − 2·r_y1·r_y2·r₁₂)/(1 − r₁₂²)                (fórmula con correlaciones simples)
R² = (0,4277 + 0,2261 − 2×0,6540×0,4755×0,1306)/(1 − 0,0171) = 0,5825       (mismo resultado)

Si x₁ y x₂ no estuvieran correlacionadas (r₁₂ = 0), R² sería simplemente r_y1² + r_y2²: cada variable explicaría su parte sin pisarse. Aquí r₁₂ es pequeña, de modo que las dos variables se complementan: 0,428 + 0,226 = 0,654, cerca del R² = 0,582 del modelo conjunto.

R² ajustado: la penalización por agregar variables

Cada variable agregada consume un grado de libertad y reduce SCE aunque sea irrelevante. El R² ajustado corrige por el número de variables explicativas k:

R²aj = 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − k − 1)                          (el R² ajustado se escribe R²aj)
R²aj = 1 − (1 − 0,5825)×33/31 = 1 − 0,4175×1,0645 = 0,5555         (modelo con k = 2, n = 34)

A diferencia de R², puede bajar al agregar una variable que no aporta lo suficiente. Con los tres modelos:

Modelo                                          R²        R² ajustado     Error estándar
Solo ingresos tributarios                       0,4277    0,4098          7,713
Ingresos tributarios y ventas de YPFB           0,5825    0,5555          6,694
Los dos y exportaciones de hidrocarburos        0,5826    0,5409          6,803

Al pasar de una a dos variables, R² sube de 0,428 a 0,582 y el R² ajustado también (0,410 a 0,556): la segunda variable aporta. Con la tercera (exportaciones de hidrocarburos), R² sube una milésima pero el R² ajustado baja de 0,556 a 0,541, y el error estándar de la estimación empeora: esa variable no mejora el modelo. Su estadístico t es apenas 0,10, otra señal de que sobra (se verá en F.4).

Cómo graduar la fuerza del ajuste

Dos escalas orientativas de uso común, la de la correlación múltiple R (la misma que para |r|) y la de R²:

R                          Lectura        R²                         Lectura
menos de 0,20              muy débil      menos de 0,01              insignificante
0,20 a menos de 0,40       débil          0,01 a menos de 0,06       pequeña
0,40 a menos de 0,60       moderada       0,06 a menos de 0,14       mediana
0,60 a menos de 0,80       fuerte         0,14 o más                 grande
0,80 o más                 muy fuerte

El modelo de dos variables tiene R = 0,763 (fuerte) y R² = 0,582 (grande). Con series económicas, un R² de 0,58 en tasas de crecimiento es un ajuste bueno: queda un 41,8% de la variación del gasto por explicar, producto de decisiones y shocks que el modelo no recoge. Cuidado: un R² alto no prueba que el modelo sea correcto ni que haya causalidad; en F.5 se verá un modelo con R² = 0,99 y coeficientes sin sentido.

Preguntas para pensar

• Al pasar de una a dos variables explicativas el R² ajustado sube de 0,41 a 0,56. ¿Qué te dice eso sobre la decisión de incluir las ventas de YPFB? ¿Qué otra información usarías además del R² ajustado?
• Un colega dice que su modelo es excelente porque R² = 0,99. ¿Qué preguntas le harías antes de aceptar esa conclusión?