F.2 Regresión múltiple: el modelo y la estimación de los coeficientes

El gasto sube con los ingresos tributarios, ¿y con los ingresos del gas?

En F.1, el crecimiento del gasto público aparecía asociado al de los ingresos tributarios (b₁ = 0,491). Pero el Estado boliviano también financia su gasto con la venta de hidrocarburos de YPFB. Si el crecimiento de las ventas de YPFB (x₂) también se asocia con el del gasto, dejarlo fuera atribuye a los impuestos efectos que no son suyos. La regresión múltiple incorpora varias variables explicativas a la vez: cada coeficiente mide el efecto de su variable manteniendo constantes las demás.

Con las dos variables, la ecuación estimada es ŷ = 3,817 + 0,452x₁ + 0,0385x₂. La pendiente de los ingresos tributarios baja de 0,491 a 0,452: parte de lo que antes se les atribuía lo explican las ventas de YPFB.

b₁ = 0,452

es el coeficiente del crecimiento de los ingresos tributarios en la regresión múltiple del crecimiento anual del gasto total sobre los ingresos tributarios y las ventas de hidrocarburos de YPFB, Bolivia, 1991-2024 (sin YPFB era 0,491).

Fuente: MEFP, Estadísticas fiscales anuales, sector público no financiero, 1990-2024 (millones de bolivianos corrientes); variaciones y cálculo propios.

El modelo con dos variables explicativas

El modelo es y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ε. Se estima por mínimos cuadrados: se eligen b₀, b₁ y b₂ que minimizan la suma de los errores al cuadrado. Con las variables centradas en sus medias, el problema se reduce a un sistema de dos ecuaciones normales:

S₁₁b₁ + S₁₂b₂ = S₁y                                             (primera ecuación normal)
S₁₂b₁ + S₂₂b₂ = S₂y                                             (segunda ecuación normal)

donde Sᵢⱼ = Σ(xᵢ − x̄ᵢ)(xⱼ − x̄ⱼ) y Sᵢy = Σ(xᵢ − x̄ᵢ)(y − ȳ). Con los datos de los 34 años:

S₁₁ = 5.897,52        S₂₂ = 352.697,37        S₁₂ = 5.958,47                (variación de x₁, de x₂ y conjunta de ambas)
S₁y = 2.896,73        S₂y = 16.285,78                                  (variación conjunta de cada x con y)
x̄₁ = 12,8821        x̄₂ = 26,4479        ȳ = 10,6624              (medias)

Resolución paso a paso del sistema

Con la regla de Cramer, el determinante del sistema es D = S₁₁S₂₂ − S₁₂²:

D = 5.897,52×352.697,37 − (5.958,47)² = 2.080.040.132 − 35.503.326 = 2.044.536.806      (determinante del sistema)
b₁ = (S₁y·S₂₂ − S₁₂·S₂y)/D                                      (primera incógnita)
b₁ = (2.896,73×352.697,37 − 5.958,47×16.285,78)/2.044.536.806 = 924.630.788/2.044.536.806 = 0,4522      (efecto de x₁)
b₂ = (S₁₁·S₂y − S₁₂·S₁y)/D                                      (segunda incógnita)
b₂ = (5.897,52×16.285,78 − 5.958,47×2.896,73)/2.044.536.806 = 78.785.658/2.044.536.806 = 0,03853      (efecto de x₂)
b₀ = ȳ − b₁x̄₁ − b₂x̄₂ = 10,6624 − 0,4522×12,8821 − 0,03853×26,4479 = 3,8173      (ordenada al origen)

La ecuación estimada es ŷ = 3,817 + 0,4522x₁ + 0,03853x₂.

Cómo se lee cada coeficiente. b₁ = 0,452: si los ingresos tributarios crecen un punto porcentual más, manteniendo constante el crecimiento de las ventas de YPFB, el gasto crece 0,45 puntos más. b₂ = 0,0385: un punto adicional de crecimiento de las ventas de YPFB, con los ingresos tributarios constantes, se asocia con 0,039 puntos más. Parece muy pequeño, pero las ventas de YPFB varían muchísimo (desviación estándar de 103 puntos): un cambio de 100 puntos equivale a 3,9 puntos de gasto. El tamaño de un coeficiente depende de las unidades de su variable.

Predicción. Si los ingresos tributarios crecen 15% y las ventas de YPFB 20%: ŷ = 3,817 + 0,452×15 + 0,0385×20 = 11,37%.

Por qué el coeficiente cambia al agregar una variable

La pendiente de x₁ pasó de 0,491 (regresión simple) a 0,452 (múltiple). La razón: las dos variables explicativas no son independientes (0,131 es su correlación), y el efecto «bruto» de x₁ mezclaba su efecto propio con parte del efecto de x₂. En la regresión múltiple, cada coeficiente es el efecto neto. Cuando las variables explicativas no están correlacionadas entre sí, el coeficiente no cambia al agregar otra; mientras más correlacionadas, más cambian. En este caso la correlación entre x₁ y x₂ es débil (0,13), por eso el cambio es moderado. Si fuera muy alta, aparecería un problema distinto, la multicolinealidad, que se verá en F.5.

Preguntas para pensar

• La pendiente de los ingresos tributarios bajó al incluir las ventas de YPFB. ¿Qué otras variables (inversión pública, tipo de cambio, deuda) podrían entrar al modelo y qué le pasaría a los coeficientes ya estimados?
• Explica con tus palabras la diferencia entre «el gasto crece 0,49 puntos por cada punto de ingresos tributarios» (regresión simple) y «0,45 puntos, manteniendo constantes las ventas de YPFB» (múltiple).