F.1 Regresión simple: error estándar e inferencia sobre la pendiente

Cuando los ingresos tributarios crecen un punto más, ¿cuánto más crece el gasto?

Entre 1991 y 2024, el gasto total del sector público no financiero de Bolivia creció en promedio 10,66% por año, y los ingresos tributarios, 12,88% (MEFP, series anuales en bolivianos corrientes). Los años de mayor crecimiento de los ingresos tributarios suelen serlo también del gasto. Con una recta de mínimos cuadrados, la pendiente estimada es b₁ = 0,491: cada punto porcentual adicional de crecimiento de los ingresos tributarios se asocia con unos 0,49 puntos más de crecimiento del gasto. Pero esa pendiente sale de 34 años y no de toda la población de años posibles. ¿Es distinta de cero de verdad, o pudo salir del azar? ¿Cuánto vale con un margen de error?

El análisis responde con una prueba t sobre la pendiente (t = 4,89, p < 0,001) y con un intervalo de confianza del 95% de (0,287; 0,696).

b₁ = 0,491

es la pendiente de la recta de mínimos cuadrados del crecimiento anual del gasto total sobre el crecimiento anual de los ingresos tributarios del sector público de Bolivia, 1991-2024 (R² = 0,428; intervalo de confianza del 95%: de 0,29 a 0,70).

Fuente: MEFP, Estadísticas fiscales anuales, sector público no financiero, 1990-2024 (millones de bolivianos corrientes); variaciones y cálculo propios.

El modelo y sus supuestos

El modelo de regresión simple supone que, para cada valor de x, y = β₀ + β₁x + ε, donde ε es un error aleatorio de media 0 y desviación σ, independiente entre observaciones y con distribución aproximadamente normal. Los coeficientes de la muestra, b₀ y b₁, estiman β₀ y β₁ por mínimos cuadrados (como en Estadística I). Lo nuevo es medir su incertidumbre: dos muestras distintas darían rectas distintas.

Se necesitan tres sumas con los datos centrados en sus medias, que son las que muestra el ejercicio de abajo:

Sxx = Σ(x − x̄)² = 5.897,52                                       (variación de los ingresos tributarios)
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 2.896,73                                (variación conjunta de x e y)
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3.326,53                                       (variación total del gasto)

Estimación: pendiente, ordenada y ajuste

b₁ = Sxy/Sxx = 2.896,73/5.897,52 = 0,4912                              (pendiente)
b₀ = ȳ − b₁x̄ = 10,6624 − 0,4912×12,8821 = 4,3350                  (ordenada al origen)
SCR = b₁Sxy = 0,4912×2.896,73 = 1.422,81                         (variación explicada por la regresión)
SCE = Syy − SCR = 3.326,53 − 1.422,81 = 1.903,72                       (variación residual, no explicada)
R² = SCR/Syy = 1.422,81/3.326,53 = 0,4277                           (fracción de la variación explicada)

La recta es ŷ = 4,335 + 0,491x. El coeficiente R² = 0,428 indica que el crecimiento de los ingresos tributarios explica 42,8% de la variación del crecimiento del gasto; el 57,2% restante depende de otros factores.

Error estándar de la estimación e inferencia sobre la pendiente

La dispersión de los puntos alrededor de la recta se mide con el error estándar de la estimación: mientras más grande sea, mayor será la dispersión de los puntos alrededor de la línea de regresión.

s_e = √(SCE/(n − 2)) = √(1.903,72/32) = 7,7131                      (n − 2 grados de libertad: se estimaron dos coeficientes)
s_b = s_e/√Sxx = 7,7131/√5.897,52 = 0,1004                       (error estándar de la pendiente)
t = b₁/s_b = 0,4912/0,1004 = 4,890                                (estadístico de prueba de H₀: β₁ = 0)
Valor crítico: ±2,037                                       (t con 32 gl, α = 0,05, dos colas)

Paso 1: H₀: β₁ = 0 (el crecimiento del gasto no depende del de los ingresos tributarios); H₁: β₁ ≠ 0. Paso 5: |t| = 4,89 > 2,037, se rechaza H₀ (p = 0,000027, o sea p < 0,001). Con una probabilidad de equivocarse de 5%, el gasto sí varía con los ingresos tributarios.

Margen de error. El intervalo de confianza del 95% para β₁ es b₁ ± t·s_b = 0,4912 ± 2,037 × 0,1004 = (0,287; 0,696). El margen de error es 0,205 puntos: la pendiente verdadera podría estar entre 0,29 y 0,70. Por último, con una sola variable explicativa, F = t² (23,92 = 23,92), de modo que la prueba F global y la t de la pendiente son la misma.

Preguntas para pensar

• La pendiente estimada es de unos 0,49 puntos de crecimiento del gasto por punto de crecimiento de los ingresos tributarios. ¿Significa que si el Estado aumentara la recaudación, el gasto crecería en esa proporción? ¿Qué falta para afirmar causalidad?
• El intervalo de confianza de la pendiente tiene un margen de error de unos 0,2 puntos. ¿Qué se necesitaría cambiar (más años, menos dispersión) para reducirlo?