E.8 Prueba para K proporciones y comparaciones múltiples

¿El oro sube con la misma frecuencia en todos los períodos?

En los 77 meses de febrero de 2020 a junio de 2026, el precio del oro subió en 42 meses (54,5%). Pero la proporción de meses con alza no fue igual en todos los períodos: se separaron los meses en cinco grupos y la proporción de alzas fue 43% (2020-2021), 50% (2022), 50% (2023), 58% (2024), 72% (2025-2026). ¿Son estas diferencias lo bastante grandes como para concluir que la frecuencia de alzas cambia de un período a otro, o es el tipo de variación que producirían cinco grupos de meses con la misma proporción verdadera?

Hasta ahora se comparaban dos proporciones. Cuando hay K grupos, comparar todos de a pares multiplica los errores posibles: la solución es una sola prueba para la hipótesis de que las K proporciones son iguales. Aquí da χ² = 3,67 con 4 grados de libertad y un valor p de 0,452.

p = 0,45

es el valor p de la prueba de que la proporción de meses con alza del oro es la misma en cinco períodos (2020-2021, 2022, 2023, 2024 y 2025-2026); χ² = 3,67 con 4 grados de libertad.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; períodos y cálculo propios.

Una sola prueba para K proporciones

La hipótesis nula afirma que las K proporciones poblacionales son iguales; la alternativa, que al menos una difiere:

- H₀: p₁ = p₂ = … = p_K (todas las proporciones son iguales).
- H₁: al menos una proporción es distinta (basta con que una difiera).

Es la prueba de independencia de E.7 aplicada a otro diseño: en vez de una muestra clasificada por dos variables, hay K grupos y se compara cómo se reparten sus resultados. Los cálculos son los mismos:

Con F = total de la fila, C = total de la columna y N = total general:

E = F × C/N                                                     (frecuencia esperada si H₀ fuera cierta)
χ² = Σ (O − E)²/E                                               (estadístico, siempre de cola derecha)
gl = (K − 1)(c − 1) = K − 1                                     (con c = 2 resultados: alza o baja)

La condición es la de siempre: todas las frecuencias esperadas, de al menos 5. En palabras de Triola:

Los cálculos con los datos del oro

Los 77 meses se tratan como la muestra disponible del comportamiento del precio del oro, y la prueba pregunta si las diferencias entre períodos superan lo que produciría el azar. Frecuencias observadas:

Período        Alzas        Bajas    Total
2020-2021         10           13       23
2022               6            6       12
2023               6            6       12
2024               7            5       12
2025-2026         13            5       18
Total             42           35       77

Si la proporción de alzas fuera la misma en todos los períodos (0,5455), las frecuencias esperadas serían (total del período × 42)/77 para las alzas y (total del período × 35)/77 para las bajas:

Período        Alzas        Bajas    Total
2020-2021      12,55        10,45    23,00
2022            6,55         5,45    12,00
2023            6,55         5,45    12,00
2024            6,55         5,45    12,00
2025-2026       9,82         8,18    18,00
Total          42,00        35,00    77,00

Todas son mayores que 5. La contribución (O − E)²/E de cada celda:

Período       Alzas     Bajas      Suma
2020-2021     0,516     0,620     1,136
2022          0,045     0,055     0,100
2023          0,045     0,055     0,100
2024          0,032     0,038     0,069
2025-2026     1,031     1,237     2,269
Total                                 3,674

χ² = 3,674                                                 (suma de las diez contribuciones)
gl = (5 − 1)(2 − 1) = 4                                         (grupos menos 1, por resultados menos 1)
Valor crítico: 9,488                                        (con 4 gl y α = 0,05)
3,674 < 9,488                                            (no cae en la región de rechazo: no se rechaza H₀)
p = P(χ² > 3,674) = 0,4519                               (valor p de cola derecha)

No se rechaza H₀: las diferencias entre períodos (de 43% a 72% de alzas) son compatibles con una proporción común de 54,5%. En particular, el 2025-2026 tiene 72% de alzas, pero con solo 18 meses esa proporción no alcanza para distinguirse del azar.

Cuando se rechaza: ¿cuáles proporciones difieren?

La prueba de K proporciones solo informa que alguna es distinta. Con los datos de inflación de E.7, tres años y la proporción de meses con inflación media o alta (17% en 2023, 67% en 2024, 83% en 2025), χ² = 11,70 y p = 0,0029: se rechaza la igualdad. Para saber cuáles difieren se compara de a pares con la prueba de dos proporciones de E.6:

Pareja         p̂ de cada año       z          Valor p
2023-2024        17% y  67%       −2,48       0,0130
2023-2025        17% y  83%       −3,27       0,0011
2024-2025        67% y  83%       −0,94       0,3458

Hay un detalle importante: con tres comparaciones, la probabilidad de equivocarse al menos una vez si cada una usa α = 0,05 sube a 1 − 0,95³ = 14,3%. La corrección de Bonferroni divide el α entre el número de comparaciones: se usa 0,05/3 = 0,0167 para cada pareja. Con ese criterio, 2023 difiere de 2024 y de 2025 (valores p de 0,0130 y 0,0011, ambos menores que 0,0167), pero 2024 y 2025 no se distinguen entre sí (p = 0,35).

Preguntas para pensar

• Con cinco períodos, la prueba no rechaza H₀, pero el último tiene 72% de alzas y el primero 43%. ¿Qué harías antes de afirmar que «el oro mejoró»? ¿Qué cambia si se dispone de más meses?
• ¿Por qué conviene una prueba global antes de comparar parejas, en lugar de comparar directamente todas las parejas posibles?