E.7 Prueba ji-cuadrado de independencia

¿Depende el nivel de inflación del año? Una tabla de 36 meses

En la tabla de inflación mensual de 2023 a 2025 (INE, IPC general), los 12 meses de cada año se clasificaron en inflación baja (menos de 0,5% mensual), media o alta (1,5% o más). En 2023 hubo 10 meses de inflación baja; en 2025, solo 2. En A.5 se calcularon las frecuencias que se esperarían si el año y el nivel de inflación fueran independientes y se vio que lo observado se aleja mucho de ellas. Ahora se contesta con una prueba: ¿es esa distancia mayor de lo que el azar explicaría?

La respuesta tiene una trampa que conviene ver con cuidado: la tabla original no cumple una condición de la prueba, y hay que corregirla antes de aceptar un resultado. Con la tabla corregida, χ² = 11,70 con 2 grados de libertad y un valor p de 0,0029.

χ² = 11,7

es el estadístico de la prueba de independencia entre el año (2023, 2024, 2025) y el nivel de inflación (baja o media/alta) en 36 meses; su valor p es 0,0029.

Fuente: INE, IPC general mensual, base 2016=100, enero de 2023 a diciembre de 2025; clasificación y cálculo propios.

La prueba de independencia

Dos variables categóricas se cruzan en una tabla de contingencia. Las hipótesis son:

- H₀: las variables de fila y columna son independientes (aquí: el nivel de inflación no depende del año).
- H₁: son dependientes.

Si H₀ fuera cierta, cada celda tendría la frecuencia esperada E = (total de la fila × total de la columna)/N, la misma que se calculó en A.5. El estadístico compara lo observado (O) con lo esperado (E) celda por celda:

χ² = Σ (O − E)²/E                                               (estadístico ji-cuadrado: suma sobre todas las celdas)
gl = (f − 1)(c − 1)                                             (grados de libertad: f filas, c columnas)

Si las frecuencias observadas coinciden con las esperadas, χ² = 0; cuanto más se alejan, mayor es χ². Por eso la prueba es siempre de cola derecha: solo valores grandes de χ² contradicen H₀. Para rechazar, χ² debe superar el valor crítico de la distribución ji-cuadrado con gl grados de libertad (o p ≤ α).

La prueba exige datos de una muestra aleatoria, conteos en una tabla de dos entradas y una condición decisiva sobre las frecuencias esperadas:

Primer intento: la tabla de 3 × 3, y por qué no es confiable

Con las tres categorías de inflación las frecuencias observadas son (filas: 2023, 2024, 2025; columnas: baja, media, alta):

Año     Baja     Media     Alta     Total
2023      10         2        0        12
2024       4         6        2        12
2025       2         6        4        12
Total     16        14        6        36

Se obtiene χ² = 12,786 con gl = (3 − 1)(3 − 1) = 4, un valor crítico de 9,488 al 5% y un valor p de 0,0124: formalmente, se rechaza la independencia. Pero 6 de las 9 celdas tienen frecuencia esperada menor que 5 (la columna «Alta» tiene E = 2,00 en cada fila, y la «Media», 4,67). Con tan pocos casos esperados, la distribución ji-cuadrado es una mala aproximación y el valor p no es de fiar. Lo correcto no es apresurarse a concluir, sino reagrupar categorías hasta que cada frecuencia esperada llegue a 5.

Segundo intento: agrupar «media» y «alta»

Al reunir las inflaciones media y alta en una sola categoría («media o alta») la tabla pasa a ser de 3 × 2:

Año     Baja    Media o alta    Total
2023       10             2         12
2024        4             8         12
2025        2            10         12
Total      16            20         36

Las frecuencias esperadas, con E = (total de la fila × total de la columna)/36 = (12 × 16)/36 y (12 × 20)/36, son iguales para los tres años:

Año     Baja    Media o alta
2023     5,33          6,67
2024     5,33          6,67
2025     5,33          6,67

Todas son mayores que 5: la condición se cumple. La contribución de cada celda a χ² es (O − E)²/E:

Año     Baja    Media o alta     Suma
2023    4,083         3,267      7,350
2024    0,333         0,267      0,600
2025    2,083         1,667      3,750
Total                                  11,700

χ² = 11,700                                            (suma de las seis contribuciones)
gl = (3 − 1)(2 − 1) = 2                                         (filas menos 1 por columnas menos 1)
Valor crítico: 5,991                                      (con 2 gl y α = 0,05)
11,700 > 5,991                                          (cae en la región de rechazo: se rechaza H₀)
p = P(χ² > 11,700) = 0,0029                             (valor p de cola derecha)

Se rechaza la independencia con 5% de significancia y también con 1% (el crítico al 1% es 9,210): el nivel de inflación depende del año. Las celdas que más contribuyen son las de 2023 y 2025, las que más se alejan de lo esperado.

Qué responde la prueba y qué no

La prueba dice que hay una relación entre el año y el nivel de inflación; no dice cuál ni por qué. Para saber cuál hay que mirar la tabla: la inflación baja se concentró en 2023 y la media o alta, en 2025. Para saber por qué se necesita teoría económica (tipo de cambio, oferta de combustibles, expectativas…), no estadística. Y un resultado significativo no prueba causalidad.

Tampoco informa de la fuerza de la relación. Una medida simple es la V de Cramér, que va de 0 (independencia) a 1 (dependencia total), con m igual al menor entre filas − 1 y columnas − 1:

V = √(χ²/(N·m))                                                 (medida de la fuerza de la relación)
V = √(11,700/(36 × 1)) = 0,570                            (asociación grande según la escala siguiente)

Escala orientativa de uso común para V (con dos categorías en una de las variables):

V                          Lectura           Qué indica
menos de 0,10              despreciable      casi no hay relación entre las variables
0,10 a menos de 0,30       pequeña           relación leve
0,30 a menos de 0,50       mediana           relación apreciable
0,50 o más                 grande            relación intensa

Con V = 0,57, la asociación entre el año y el nivel de inflación es grande. Conviene no confundirlo con el valor p: la prueba dice si la asociación es real (p = 0,0029); V dice cuán intensa es.

Preguntas para pensar

• La prueba dice que el nivel de inflación depende del año. ¿Qué factores económicos propondrías para explicar que 2025 concentre las inflaciones altas, y qué datos adicionales necesitarías para ponerlos a prueba?
• Al reagrupar «media» y «alta» se perdió detalle y se ganó validez. ¿Qué criterio usarías para decidir qué categorías juntar sin que el resultado dependa de tu conveniencia?