E.6 Comparación de dos proporciones

¿Subió el oro con la misma frecuencia en 2020-2022 que en 2023-2026?

Se tomó una muestra aleatoria de 30 meses de cada período. En 2020-2022 el oro subió en 12 de 30 meses (p̂₁ = 0,400); en 2023-2026, en 20 de 30 (p̂₂ = 0,667). La diferencia observada es de 26,7 puntos porcentuales. ¿Alcanza para concluir que la proporción de meses con alza cambió entre períodos, o puede ser variación de muestreo? Si H₀ (iguales) fuera cierta, ¿qué tan raro sería este resultado?

El estadístico es z = −2,07 y el valor p, 0,038.

z = −2,07

es el estadístico de la prueba de H₀: p₁ = p₂ para la proporción de meses con alza del oro en 2020-2022 (12 de 30) y 2023-2026 (20 de 30); su valor p bilateral es 0,038.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; períodos, muestras y cálculo propio.

El estadístico para dos proporciones

Con muestras independientes de tamaños n₁ y n₂, y x₁, x₂ éxitos, las proporciones muestrales son p̂₁ = x₁/n₁ y p̂₂ = x₂/n₂. Si H₀: p₁ = p₂ es cierta, las dos poblaciones comparten un mismo valor de p, y la mejor forma de estimarlo es juntar ambas muestras:

p̄ = (x₁ + x₂)/(n₁ + n₂)                                         (proporción agrupada: una sola estimación del valor común)
q̄ = 1 − p̄                                                       (lo que le falta a p̄ para llegar a 1)
z = (p̂₁ − p̂₂)/√(p̄q̄(1/n₁ + 1/n₂))                               (estadístico de prueba para dos proporciones)

La lógica es la misma de las pruebas anteriores: el error estándar se calcula suponiendo que H₀ es cierta. Eso explica la proporción agrupada:

Los cinco pasos con los datos del oro

Con n₁ = n₂ = 30, x₁ = 12, x₂ = 20 y α = 0,05:

Paso 1: H₀: p₁ = p₂, H₁: p₁ ≠ p₂                                (prueba bilateral: interesa cualquier cambio)
Paso 2: α = 0,05                                                (nivel de significancia)
p̄ = (12 + 20)/60 = 0,5333, q̄ = 0,4667                         (proporción agrupada y lo que le falta para 1)
Paso 3: e = √(0,5333 × 0,4667 × (1/30 + 1/30)) = 0,1288           (error estándar bajo H₀)
z = (0,4000 − 0,6667)/0,1288 = −2,0702                       (estadístico de prueba)
Paso 4, valor crítico: ±1,960                                (deja 2,5% en cada cola de la normal estándar)
Paso 5: |z| = 2,070 > 1,960                                   (cae en la región de rechazo: se rechaza H₀)
p = 2 × P(Z > 2,070) = 0,0384                            (valor p bilateral)

Conclusión: con 5% de significancia hay evidencia de que la proporción de meses con alza fue distinta en los dos períodos; en la muestra, el oro subió con más frecuencia en el segundo. Con α = 0,01 no se rechazaría (0,038 > 0,01).

Condición: hay al menos 5 éxitos y 5 fracasos en cada muestra (aquí, 12 y 10 como mínimos).

Relación con el intervalo de D.7 y qué dicen las proporciones reales

El intervalo del 95% de D.7 para p₁ − p₂ con estas mismas muestras es (−0,510; −0,023): no contiene al 0, y también la prueba rechaza. Una diferencia técnica menor: el intervalo calcula el error estándar con p̂₁ y p̂₂ por separado (0,1241), mientras que la prueba usa la proporción agrupada (0,1288), porque supone H₀. Casi siempre ambos dan la misma decisión; cuando el resultado está muy cerca del límite pueden discrepar.

Las proporciones reales en los 77 meses son 0,457 (2020-2022) y 0,619 (2023-2026): una diferencia real de 0,162. La muestra la detectó con p = 0,038; pero no siempre ocurre. Si H₀ fuera verdadera y se repitiera el procedimiento, se rechazaría por error en alrededor de 4,7% de las muestras, cerca de α.

Preguntas para pensar

• La prueba rechaza H₀ al 5% pero no al 1%. ¿Cómo comunicarías la fortaleza de la evidencia sin recurrir solo a «es significativo»?
• ¿Por qué una diferencia de 27 puntos porcentuales entre dos muestras de 30 meses puede no ser significativa, y una de 5 puntos con 3.000 observaciones por grupo sí?