E.5 Comparación de dos medias: muestras independientes y pareadas

¿Rindió distinto el oro en 2023-2026 que en 2020-2022?

Las variaciones mensuales del oro se separaron en dos períodos, 2020-2022 y 2023-2026, y de cada uno se tomó una muestra aleatoria de 20 meses. Los promedios son 1,43% (período 1) y 2,84% (período 2): la diferencia observada es −1,41 puntos porcentuales. ¿Es esa diferencia demasiado grande para atribuirla al azar del muestreo, o es el tipo de diferencia que aparece con frecuencia entre dos muestras de 20 meses aunque las dos poblaciones tuvieran la misma media?

La respuesta con los números: t = −1,22, con 35,6 grados de libertad y un valor p de 0,231. La diferencia observada no es estadísticamente significativa al 5%.

p = 0,231

es el valor p bilateral de la prueba de H₀: μ₁ = μ₂ para las variaciones mensuales del oro en 2020-2022 y 2023-2026, con 20 meses de cada período (t = −1,22).

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; períodos, muestras y cálculo propios.

Prueba de la diferencia entre dos medias independientes

La hipótesis nula afirma que las dos medias son iguales, es decir, que su diferencia es cero. Como la pregunta es si son iguales o distintas, la prueba es de dos colas:

Paso 1: H₀: μ₁ = μ₂, H₁: μ₁ ≠ μ₂                                (prueba bilateral: interesa cualquier diferencia)
Paso 2: α = 0,05                                                (nivel de significancia)
Paso 3: e = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)                                   (error estándar de la diferencia)
e = √(3,141²/20 + 4,101²/20) = √(0,4934 + 0,8408) = 1,1551   (suma de las varianzas de las dos medias)
t = (x̄₁ − x̄₂)/e = (1,431 − 2,838)/1,1551 = −1,2178         (estadístico de prueba)
Paso 4, valor crítico: ±2,029                                (t con 35,6 gl, 2,5% en cada cola)
Paso 5: |t| = 1,218 < 2,029                                     (no cae en la región de rechazo: no se rechaza H₀)

Los grados de libertad son los de Welch, ν = (v₁ + v₂)²/[v₁²/(n₁ − 1) + v₂²/(n₂ − 1)] con v₁ = s₁²/n₁ y v₂ = s₂²/n₂, que se calculan con la hoja o con la fórmula. Cuando las varianzas poblacionales pueden suponerse iguales se usa en cambio una varianza conjunta con n₁ + n₂ − 2 gl, como en D.6; con tamaños iguales y desviaciones parecidas ambas versiones dan resultados casi idénticos.

Conclusión: no se rechaza H₀, es decir, con estas muestras no hay evidencia suficiente de que las medias de los dos períodos sean distintas. Pero las medias poblacionales sí difieren: son 0,45% y 2,14%. Con 20 meses por grupo y una dispersión tan grande, la prueba no tiene potencia suficiente para detectarlo. Es otro caso de lo visto en E.4: no rechazar no es lo mismo que confirmar que no hay diferencia.

Equivalencia con el intervalo de D.6

El intervalo del 95% para μ₁ − μ₂ con esta misma muestra es (−3,75; 0,94). Contiene al 0, lo que coincide con no rechazar H₀. Cuando el cero queda dentro del intervalo, la diferencia observada es compatible con una diferencia nula; cuando queda fuera, se rechaza la igualdad. El intervalo suma información: indica de qué tamaño podría ser la diferencia real (aquí, desde −3,8 hasta +0,9 puntos porcentuales).

Muestras pareadas: cada observación tiene su pareja

A veces los datos vienen en parejas naturales: el mismo mes para el oro y para la plata, el mismo empleado antes y después de una capacitación, el mismo hogar en dos años. En ese caso no hay dos muestras independientes sino una sola muestra de diferencias. Se calcula la diferencia d dentro de cada pareja y se contrasta H₀: μ_d = 0 con una t de una muestra:

t = d̄/(s_d/√n)                                                  (estadístico t de muestras pareadas, n − 1 gl)

En los mismos 20 meses se calculó d = (variación del oro) − (variación de la plata). Resultan d̄ = −3,4132 y s_d = 6,6859:

Paso 1: H₀: μ_d = 0, H₁: μ_d ≠ 0                                (bilateral: interesa cualquier diferencia entre ambos metales)
Paso 3: e = s_d/√n = 6,6859/√20 = 1,4950                      (error estándar de la media de las diferencias)
t = −3,4132/1,4950 = −2,2830                                (estadístico de prueba)
Paso 4, valor crítico: ±2,093                                (t con 19 gl, α = 0,05)
Paso 5: |t| = 2,283 > 2,093                                   (cae en la región de rechazo: se rechaza H₀)
p = 2 × P(T > 2,283) = 0,0341                          (valor p de la prueba pareada)

Se rechaza H₀ al 5%: en esta muestra, la plata subió más que el oro en promedio. Aquí conviene ser prudente: la diferencia observada (−3,41 pp) es mucho mayor que la diferencia real entre los dos metales en los 77 meses, que es −0,72 pp. Esta muestra salió, por azar, bastante más alejada de cero que la población: una muestra puede dar una evidencia que la población no sostiene, y eso ocurre con probabilidad α cuando H₀ es cierta.

Por qué importa respetar el emparejamiento

¿Qué pasaría si, por error, se tratara a esas 20 parejas como dos muestras independientes (una de oro y otra de plata)? Con los mismos datos:

- La correlación entre el oro y la plata en esos 20 meses es r = 0,739: se mueven juntos.
- El error estándar es 2,220 si se tratan como independientes y 1,495 si se respeta el emparejamiento: la dispersión de las diferencias es menor que la de cada serie.
- El valor p es 0,136 con el análisis independiente y 0,034 con el pareado: la prueba independiente deja de rechazar.

El emparejamiento elimina la variación común a las dos series: en este caso, los movimientos que oro y plata comparten cada mes. Solo queda la diferencia entre ambos, que es lo que interesa. Ignorarlo desperdicia información y puede hacer perder una diferencia real. Por eso la pregunta previa a cualquier comparación de medias es: ¿las observaciones están emparejadas o son independientes?

Preguntas para pensar

• La prueba de dos medias no rechaza H₀ aunque las medias reales de los dos períodos son 0,45% y 2,14%. Si fueras analista, ¿qué harías antes de concluir que «no hubo cambio» entre ambos períodos?
• Piensa en un caso de tu entorno con mediciones emparejadas (antes y después, dos productos en el mismo mercado). ¿Qué se pierde si se analizan como muestras independientes?