E.4 Prueba para una proporción

¿Sube el oro en más de la mitad de los meses?

Entre las 77 variaciones mensuales del oro de febrero de 2020 a junio de 2026, el precio subió en 42 meses: 54,5%. Una muestra aleatoria de 40 meses tiene 26 alzas, es decir, una proporción de p̂ = 0,650. ¿Respalda esto que, en general, el oro sube más de la mitad de los meses (p > 0,5), o es solo el vaivén de una muestra pequeña?

El problema es análogo a la prueba de una media, pero ahora la variable es una proporción y el error estándar se calcula con el valor que H₀ declara. El estadístico es z = 1,90 y el valor p de cola derecha es 0,029.

p̂ = 0,650

es la proporción de meses con alza del oro en una muestra de 40 meses (26 alzas); se contrasta con H₀: p = 0,5 frente a H₁: p > 0,5, con z = 1,90 y valor p 0,029.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; muestra y cálculo propios.

El estadístico para una proporción

Sea x el número de «éxitos» (aquí, meses con alza) en una muestra de n y p̂ = x/n. Si H₀ afirma que la proporción poblacional es p₀, la distribución del número de éxitos es binomial y, cuando np₀ ≥ 5 y nq₀ ≥ 5 (con q₀ = 1 − p₀), se aproxima por una normal:

z = (p̂ − p₀)/√(p₀q₀/n)                                          (estadístico de prueba para una proporción)
np₀ = 40 × 0,5 = 20 ≥ 5, nq₀ = 40 × 0,5 = 20 ≥ 5                (condición para usar la normal)

El error estándar √(p₀q₀/n) se calcula con p₀, no con p̂, porque la prueba supone que H₀ es cierta. (En un intervalo de confianza, en cambio, no hay valor supuesto y se usa p̂.)

Cola derecha: H₀: p = 0,5 frente a H₁: p > 0,5

Con α = 0,05, n = 40 y x = 26:

Paso 1: H₀: p = 0,5, H₁: p > 0,5                                (cola derecha: interesa si el oro sube en más de la mitad de los meses)
Paso 2: α = 0,05                                                (nivel de significancia)
p̂ = 26/40 = 0,6500                                           (proporción de la muestra)
Paso 3: √(p₀q₀/n) = √(0,5 × 0,5/40) = 0,0791                  (error estándar bajo H₀)
z = (0,6500 − 0,5)/0,0791 = 0,1500/0,0791 = 1,8974   (estadístico de prueba)
Paso 4, valor crítico: 1,645                                    (deja 5% a la derecha)
Paso 5: 1,897 > 1,645                                          (cae en la región de rechazo: se rechaza H₀)
p = P(Z > 1,897) = 0,0289                                   (valor p de cola derecha)

Con 5% de significancia hay evidencia de que el oro sube en más de la mitad de los meses. Pero la evidencia es moderada: p = 0,029 es solo algo menor que 0,05, y con la prueba bilateral (H₁: p ≠ 0,5) el valor p sería 0,058, que no rechazaría al 5%. Por eso la cola debe fijarse antes de ver los datos.

Una muestra distinta, otra conclusión

Con otra muestra de 40 meses, con 24 alzas (p̂ = 0,600), el mismo contraste da z = 1,265 y un valor p de cola derecha de 0,103: no se rechaza H₀. La proporción real es 0,5455, de manera que H₀: p = 0,5 es falsa, pero con n = 40 la prueba suele no detectarlo. Una simulación con 40.000 muestras de 40 meses con esa proporción real da una potencia de 12,0%: la prueba de cola derecha al 5% solo rechaza H₀ en esa proporción de las muestras.

Cuando la diferencia real es pequeña (una proporción de 0,545 frente a 0,5), detectarla exige muestras mucho mayores. Un «no se rechaza» con n pequeño informa poco.

Preguntas para pensar

• Una muestra de 40 meses da p̂ = 0,65 y p = 0,029 en la cola derecha. ¿Cómo explicarías en una frase honesta qué se sabe y qué no se sabe sobre cuántos meses sube el oro?
• ¿Qué tamaño de muestra te parecería razonable para detectar con más fiabilidad una diferencia de 5 puntos porcentuales respecto de 0,5? ¿De qué depende?