E.3 Prueba para la media con σ desconocida (t de Student)

Con solo 10 meses y σ desconocida, ¿se puede sostener que el oro no tiene tendencia?

La muestra de 10 variaciones mensuales del oro del tema anterior tiene x̄ = 2,27% y s = 2,06%. Ahora se quiere contrastar H₀: μ = 0 (sin tendencia) con una muestra pequeña y sin conocer σ. El estadístico ya no es normal: al reemplazar σ por s aparece una incertidumbre adicional, y el estadístico sigue una t de Student con n − 1 = 9 grados de libertad.

El resultado es t = 3,48 y un valor p de 0,0069: evidencia fuerte contra H₀. En cambio, para H₀: μ = 1 con la misma muestra, t = 1,95 y p = 0,083: no se rechaza. Los dos veredictos se leen directamente en el intervalo del 95% de D.3.

t = 3,48

es el estadístico de la prueba t de H₀: μ = 0% con 10 meses de variación del oro (x̄ = 2,27%, s = 2,06%, 9 gl); su valor p bilateral es 0,0069.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; muestra y cálculo propios.

El estadístico t y sus grados de libertad

Cuando σ es desconocida, se estima con la desviación s de la muestra y el estadístico de prueba es:

t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)                                             (estadístico t, con n − 1 grados de libertad)
t = (2,2699 − 0)/(2,0626/√10) = 2,2699/0,6523 = 3,4800   (errores estándar estimados entre x̄ y μ₀)
Valor crítico: ±2,262                                       (bilateral, α = 0,05, 9 gl: deja 2,5% en cada cola)
|t| = 3,480 > 2,262                                      (cae en la región de rechazo: se rechaza H₀)
p = 2 × P(T > 3,480) = 0,0069                           (valor p con la t de 9 gl)

Los pasos son los mismos que en las pruebas z: lo único que cambia es la distribución de referencia. La t tiene colas más pesadas que la normal, por lo que su valor crítico es mayor (2,262 frente a 1,960 con 9 gl) y exige más evidencia para rechazar. A mayor n, la t se acerca a la normal.

Supuestos: muestra aleatoria y población aproximadamente normal (importa sobre todo con n pequeño).

La misma muestra, otro valor supuesto: H₀: μ = 1

Con el mismo x̄ y la misma s, cambia únicamente el valor que H₀ declara:

t = (2,2699 − 1)/0,6523 = 1,2699/0,6523 = 1,9469              (estadístico de prueba)
|t| = 1,947 < 2,262                                       (no cae en la región de rechazo: no se rechaza H₀)
p = 2 × P(T > 1,947) = 0,0834                           (valor p, mayor que 0,05)

No se rechaza H₀: μ = 1: los datos son compatibles con una media de 1%. Eso no significa que 1% sea la media: con la misma muestra tampoco se rechaza, por ejemplo, 2%. Cada valor supuesto dentro del intervalo de confianza sobrevive; los de afuera se rechazan.

Equivalencia con el intervalo de la sección D

El intervalo del 95% de D.3 para esta muestra es (0,79%; 3,75%), con margen de error t × s/√n = 2,262 × 0,6523 = 1,476. Los valores supuestos de este tema se comparan con él así:

- 0 queda fuera del intervalo (0,79 > 0): se rechaza H₀: μ = 0 al 5%.
- 1 queda dentro (0,79 < 1 < 3,75): no se rechaza H₀: μ = 1 al 5%.

El intervalo y la prueba bilateral cuentan la misma historia. En palabras de Triola, para la prueba t:

Qué ocurre si se usa z en lugar de t con n pequeño

Con n = 10 y σ estimada, usar el valor crítico normal de 1,960 en lugar del t de 2,262 rechaza de más. En 40.000 muestras de n = 10 tomadas de las 77 variaciones reales, con H₀: μ = 1,3724 verdadera (la media real):

- Con el valor crítico correcto de la t (2,262): H₀ se rechaza en 5,5% de las muestras, cerca del α = 5% declarado.
- Con 1,960 (error): se rechaza en 8,6%, de modo que la prueba comete más errores tipo I de lo que declara.

El error es mayor mientras menor sea la muestra y desaparece con n grande, porque la t se acerca a la normal.

Preguntas para pensar

• Con 10 datos, un colega rechaza H₀ con la prueba z (valor crítico 1,960) y tú, con la t, no rechazas. ¿Quién tiene razón y por qué?
• La misma muestra rechaza H₀: μ = 0 pero no H₀: μ = 1. ¿Qué dice eso sobre el significado de «no rechazar»?