E.2 Prueba para la media con σ conocida: una cola y dos colas

¿Supera el oro el 1% mensual? Cuando importa en qué cola se rechaza

Un inversionista afirma que el oro rinde más de 1% al mes en promedio. No le basta con que la media sea distinta de 1%: solo le interesa si es mayor. Con una muestra de 36 de las 77 variaciones mensuales reales (FMI) obtiene x̄ = 2,20%. Con σ = 3,69%, el estadístico es z = 1,95 y su valor p es 0,025.

Una prueba de una cola concentra todo el nivel de significancia en un solo extremo, así que rechaza con una evidencia menor que una de dos colas, pero a cambio solo puede detectar desvíos en una dirección. Elegir mal la cola, o elegirla después de ver los datos, es una forma de hacer trampa estadística.

z = 1,95

es el estadístico de la prueba de cola derecha H₀: μ = 1% frente a H₁: μ > 1% con 36 meses de variación del oro (x̄ = 2,20%, σ = 3,69%); su valor p unilateral es 0,025.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; muestra y cálculo propios.

Qué cola usar y qué valor crítico le corresponde

La forma de H₁ determina dónde está la región de rechazo:

- H₁: μ > μ₀ (cola derecha): se rechaza si z es muy grande; el área α queda a la derecha.
- H₁: μ < μ₀ (cola izquierda): se rechaza si z es muy negativo; el área α queda a la izquierda.
- H₁: μ ≠ μ₀ (dos colas): se rechaza si |z| es grande; el área α se reparte mitad y mitad (α/2 en cada cola).

Los valores críticos de la normal estándar para los niveles habituales son:

Nivel α     Una cola (z crítico)     Dos colas (±z crítico)
  0,10            1,282                   1,645
  0,05            1,645                   1,960
  0,01            2,326                   2,576

La cola se elige por la pregunta que se quiere responder, antes de calcular nada. Si la pregunta es «¿superó?», es cola derecha; «¿bajó?», cola izquierda; «¿cambió?», dos colas. Si se plantea una prueba de cola derecha y la media de la muestra resulta menor que el valor supuesto, no se cambia la prueba a cola izquierda: simplemente los datos no apoyan la creencia original.

Cola derecha: H₀: μ = 1 frente a H₁: μ > 1

Con α = 0,05, σ = 3,6908, n = 36 y x̄ = 2,2008:

Paso 1: H₀: μ = 1, H₁: μ > 1                                    (cola derecha: interesa si el promedio supera 1%)
Paso 2: α = 0,05                                                (nivel de significancia)
Paso 3: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)                                     (estadístico de prueba)
z = (2,2008 − 1)/(3,6908/6) = 1,2008/0,6151 = 1,9522   (errores estándar sobre μ₀)
Paso 4, valor crítico: 1,645                                (deja 5% a la derecha)
Paso 5: 1,952 > 1,645                                          (cae en la región de rechazo: se rechaza H₀)
p = P(Z > 1,952) = 0,0255                                  (valor p de cola derecha)

Conclusión: con 5% de significancia hay evidencia de que la variación mensual media del oro supera 1%. Con α = 0,01 el valor crítico es 2,326 y no se rechazaría (0,025 > 0,01). Nótese la ventaja de la cola única: la misma muestra, con la prueba bilateral, tendría p = 0,051 y no rechazaría al 5%. Por eso la cola debe justificarse por la pregunta del problema, no por la conveniencia del resultado.

Cola izquierda: H₀: μ = 2 frente a H₁: μ < 2, y el problema del valor frontera

Otra afirmación: «el oro rinde en promedio menos de 2% mensual». Una muestra de 36 meses da x̄ = 0,9933%:

Paso 1: H₀: μ = 2, H₁: μ < 2                                    (cola izquierda)
Paso 2: α = 0,05                                                (nivel de significancia)
Paso 3: z = (0,9933 − 2)/0,6151 = −1,0067/0,6151 = −1,6367   (estadístico de prueba)
Paso 4, valor crítico: −1,645                               (deja 5% a la izquierda)
Paso 5: −1,637 > −1,645                                     (no cae en la región de rechazo: no se rechaza H₀)
p = P(Z < −1,637) = 0,0509                                  (valor p de cola izquierda)

El valor p es 0,0509: apenas por encima de 0,05. El estadístico queda a −0,008 del valor crítico y no se rechaza H₀. Esto ilustra que 0,05 es una convención y no un límite natural: p = 0,051 y p = 0,049 aportan casi la misma evidencia, y por eso conviene informar el valor p además de la decisión. La conclusión honesta es que la muestra da una evidencia débil, no concluyente, a favor de que la media sea menor que 2%.

Equivalencia con el intervalo de confianza

Una prueba bilateral de H₀: μ = μ₀ al nivel α rechaza si y solo si μ₀ queda fuera del intervalo de confianza de nivel 1 − α. Con la muestra de E.1 (x̄ = 1,4194, σ/√n = 0,6151):

IC al 95%: 1,4194 ± 1,960 × 0,6151 = (0,214; 2,625)                          (el 0 queda fuera: se rechaza H₀: μ = 0 al 5%)
IC al 99%: 1,4194 ± 2,576 × 0,6151 = (−0,165; 3,004)                          (el 0 queda dentro: no se rechaza al 1%)

Son los mismos resultados que dio la prueba: rechazar al 5%, no rechazar al 1%. El intervalo tiene la ventaja de informar además qué valores son compatibles con los datos, mientras que la prueba solo responde sí o no frente a un valor.

Preguntas para pensar

• Un colega calcula z = 1,80 y dice: «con cola derecha p = 0,036, así que rechazo; si hubiera sido bilateral habría p = 0,072 y no rechazaría». ¿Qué le preguntarías antes de aceptar su conclusión?
• En una decisión real de inversión, ¿cuál de las tres formas de H₁ (>, <, ≠) correspondería a la pregunta «¿conviene comprar oro?», y por qué?