E.1 La lógica de la prueba de hipótesis: H₀, H₁, errores y valor p

«El oro no tiene tendencia»: ¿lo desmienten 36 meses de datos?

Un analista sostiene que, en el largo plazo, el precio del oro no tiene tendencia: la variación mensual promedio sería 0%. Una muestra aleatoria de 36 de las 77 variaciones mensuales reales (FMI) da x̄ = 1,42%. Con la σ poblacional de 3,69%, el error estándar de la media es 0,615 pp.

Un promedio de 1,42% no es 0%, pero eso por sí solo no dice nada: una muestra rara vez coincide exactamente con la media de la población, aun cuando la afirmación sea cierta. La pregunta es otra: si la media verdadera fuera 0%, ¿qué tan raro sería obtener un promedio tan alejado de 0 como 1,42%? Un estadístico de prueba z = 2,31 y un valor p de 0,021 responden con números, y al final del tema se decide con un criterio fijado de antemano.

z = 2,31

es el estadístico de prueba para contrastar que la variación mensual media del oro es 0%, con una muestra de 36 meses (x̄ = 1,42%, σ = 3,69%); su valor p bilateral es 0,021.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; muestra y cálculo propios.

Las dos hipótesis y el criterio de decisión

Una prueba de hipótesis contrasta una afirmación sobre un parámetro de la población con la evidencia de una muestra. Se plantean dos hipótesis que no pueden ser ciertas a la vez:

- H₀ (hipótesis nula): la afirmación que se pone a prueba; siempre lleva el signo igual y fija un valor específico del parámetro. Aquí, H₀: μ = 0.
- H₁ (hipótesis alternativa): lo que se concluye si H₀ no se sostiene; nunca lleva el igual. Puede ser bilateral (H₁: μ ≠ 0, dos colas), de cola izquierda (μ < 0) o de cola derecha (μ > 0). Se elige según la pregunta, antes de ver los datos.

Se supone que H₀ es cierta y se mide qué tan lejos queda la muestra de lo que ese supuesto predice. Si queda demasiado lejos, la muestra es poco compatible con H₀ y se rechaza. «Demasiado lejos» se fija con el nivel de significancia α: la probabilidad, calculada suponiendo que H₀ es cierta, de rechazarla por error. Los valores más usados son 5% y 1%.

El resultado admite solo dos lecturas: rechazar H₀ (los datos son incompatibles con ella al nivel α) o no rechazar H₀. Lo segundo no equivale a demostrar que H₀ sea cierta:

Los cinco pasos con el caso del oro

El procedimiento es el mismo en todas las pruebas de este capítulo. Con H₀: μ = 0, H₁: μ ≠ 0, α = 0,05, n = 36, σ = 3,6908 y x̄ = 1,4194:

Paso 1: H₀: μ = 0, H₁: μ ≠ 0                                    (prueba bilateral: interesa cualquier desvío de 0)
Paso 2: α = 0,05                                                (nivel de significancia fijado de antemano)
Paso 3: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)                                     (estadístico de prueba)
z = (1,4194 − 0)/(3,6908/√36) = 1,4194/0,6151 = 2,3075   (cuántos errores estándar separa x̄ de μ₀)
Paso 4, valor crítico: ±1,960                                (deja 2,5% en cada cola de la normal estándar)
Paso 5: |z| = 2,307 > 1,960                                   (cae en la región de rechazo: se rechaza H₀)

Conclusión al 5%: los datos son incompatibles con una media mensual de 0%; hay evidencia de que el oro tuvo una variación media distinta de cero en el período. Con α = 0,01 el valor crítico sube a ±2,576 y, como 2,307 < 2,576, no se rechazaría. El mismo dato conduce a conclusiones distintas según el nivel de significancia elegido, por eso α se fija antes de mirar los resultados.

El valor p: otra forma de decidir

En lugar de comparar z con un valor crítico se calcula el valor p: la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado si H₀ fuera cierta. Para una prueba bilateral, el valor p es el área de las dos colas más allá de |z|:

p = 2 × P(Z > |z|)                                              (prueba bilateral: se duplica el área de una cola)
p = 2 × P(Z > 2,307) = 2 × 0,0105 = 0,0210      (área de la cola derecha, duplicada)

Regla de decisión: si p ≤ α, se rechaza H₀. Aquí p = 0,0210: es menor que 0,05 (se rechaza al 5%) y mayor que 0,01 (no se rechaza al 1%), exactamente lo que daba el método del valor crítico. Ambos métodos siempre coinciden; el valor p tiene la ventaja de informar *cuánta* evidencia hay: un p de 0,0004 es una evidencia mucho más fuerte contra H₀ que uno de 0,049, aunque los dos rechacen al 5%.

Advertencia: el valor p no es la probabilidad de que H₀ sea cierta. Es la probabilidad de obtener un resultado al menos así de extremo si H₀ fuera cierta.

Cómo graduar la evidencia: una escala para el valor p

Además de decidir con α, el valor p permite graduar la fuerza de la evidencia contra H₀. Una lectura orientativa, de uso común:

Valor p                     Lectura                       Evidencia contra H₀
p > 0,10                    no significativo              ninguna
0,05 < p ≤ 0,10             marginal                      débil, no concluyente
0,01 < p ≤ 0,05             significativo                 moderada
0,001 < p ≤ 0,01            muy significativo             fuerte
p ≤ 0,001                   altamente significativo       muy fuerte

En el caso del oro, p = 0,0210: significativo, evidencia moderada. Se rechaza al 5% pero no al 1%, lo que concuerda con esa lectura.

Tres advertencias para usar la escala bien:

- Los cortes son convenciones, no fronteras de la naturaleza: p = 0,049 y p = 0,051 aportan casi la misma evidencia, aunque caigan a lados distintos de 0,05.
- La decisión formal sigue fijándose con el α elegido antes de ver los datos; la escala solo describe cuánto se alejó el resultado.
- Un valor p pequeño no mide el tamaño del efecto: con muestras muy grandes, diferencias minúsculas producen p diminutos, y con muestras pequeñas, diferencias grandes pueden dar p mediocres.

Los dos errores posibles

Como la decisión se toma con una muestra, puede ser equivocada de dos maneras:

H₀ es verdadera                    H₀ es falsa
Rechazar H₀              Error tipo I (prob. α)             Decisión correcta (prob. 1 − β)
No rechazar H₀           Decisión correcta (prob. 1 − α)    Error tipo II (prob. β)

- Error tipo I: rechazar una H₀ que era verdadera. Su probabilidad es exactamente α, que el analista elige.
- Error tipo II: no rechazar una H₀ que era falsa. Su probabilidad es β y depende del tamaño de la muestra y de cuánto se aparta la verdad de H₀. 1 − β es la potencia de la prueba: la probabilidad de detectar la falsedad de H₀.

Una simulación con los datos reales muestra ambos errores. Se toman 40.000 muestras de n = 36 de las 77 variaciones del oro (la media verdadera es 1,37%):

- H₀: μ = 1,37% (verdadera, es la media real): se rechaza en 5,0% de las muestras al 5% y en 1,0% al 1%. Cada rechazo es un error tipo I, y la proporción coincide con α.
- H₀: μ = 0 (falsa): se rechaza en 60,2% de las muestras al 5% y en 36,5% al 1%. Esa es la potencia, 1 − β.

Cuando H₀ es verdadera, se rechaza en la proporción α, ni más ni menos. Cuando H₀ es falsa, la potencia al 5% es 60,2%, de modo que β = 39,8%: casi 4 de cada 10 veces una muestra de 36 meses no detectaría que la media no es cero. Bajar α a 1% reduce los errores tipo I pero sube β a 63,5%: no se pueden reducir los dos errores a la vez sin aumentar n. Qué error pesa más depende del problema: en un juicio, condenar a un inocente (tipo I) es peor que absolver a un culpable (tipo II).

Preguntas para pensar

• El analista sostiene que el oro «no tiene tendencia» y la prueba rechaza H₀ al 5% pero no al 1%. ¿Cómo comunicarías ese resultado a alguien que no conoce de estadística, sin exagerar ni minimizar la evidencia?
• ¿Qué error sería más costoso en una decisión real de inversión en oro: concluir que sí hay tendencia cuando no la hay, o concluir que no la hay cuando sí? ¿Qué nivel de significancia elegirías en cada caso?