D.7 Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones y resumen de la sección

¿Subió el oro en una proporción distinta de meses en los dos períodos?

En el período 2020-2022, de una muestra de 30 meses el precio del oro subió en 12 (p̂₁ = 0,400); en 2023-2026, de otra muestra de 30 meses, subió en 20 (p̂₂ = 0,667). La diferencia observada, p̂₁ − p̂₂ = −0,267, ¿indica que la proporción verdadera de meses de subida cambió de un período al otro, o puede ser fruto del muestreo?

El intervalo de confianza del 95% para la diferencia de proporciones p₁ − p₂ es (−0,510; −0,023). No contiene al 0: con esas muestras, los datos indican que la proporción de meses de subida fue menor en el primer período. (Se sabe, con los 77 meses completos, que la diferencia real es −0,162: está dentro del intervalo, como corresponde.)

(−0,510; −0,023)

es el intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre la proporción de meses de subida del oro en 2020-2022 y en 2023-2026, con muestras de 30 meses en cada período.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; períodos, muestras y cálculo propios.

El intervalo para la diferencia de dos proporciones

Con muestras aleatorias independientes de tamaños n₁ y n₂, y proporciones muestrales p̂₁ y p̂₂ (tema C.7), el intervalo tiene la forma de siempre:

σ̂ = √(p̂₁q̂₁/n₁ + p̂₂q̂₂/n₂)                                       (error estimado de la diferencia: se suman las varianzas)
IC = (p̂₁ − p̂₂) ± z × σ̂                                           (intervalo para p₁ − p₂)
p̂₁ = 12/30 = 0,4000;  p̂₂ = 20/30 = 0,6667                  (proporciones de las dos muestras)
σ̂ = √(0,400 × 0,600/30 + 0,667 × 0,333/30) = 0,1241            (error estándar estimado)
E = 1,960 × 0,1241 = 0,2433                                  (margen de error al 95%)
IC = −0,2667 ± 0,2433 = (−0,5100; −0,0234)                      (límites inferior y superior)

Condiciones. Dos muestras aleatorias independientes y, en cada una, al menos 5 éxitos y al menos 5 fracasos (aquí 12 y 18; 20 y 10: se cumplen).

Lectura. El 0 queda fuera (−0,023 es negativo): con 95% de confianza, p₁ es menor que p₂, y la diferencia está entre 0,02 y 0,51, es decir, entre 2 y 51 puntos porcentuales. Un intervalo que apenas deja afuera el 0 es una evidencia débil: otra pareja de muestras habría podido incluirlo. Con otras muestras de 30 datos por período, varios intervalos habrían contenido el 0 aunque la diferencia real exista: con tan pocos datos es difícil detectar una diferencia de unos 16 puntos porcentuales.

Resumen de los intervalos de confianza de la sección

Todos los intervalos de la sección comparten una estructura: estimación ± valor crítico × error estándar. Cambia el estimador, su error estándar y la distribución que da el valor crítico:

Parámetro                    Estimador                  Error estándar (estimado)          Distribución      Intervalo
Media μ (σ conocida)         x̄                          σ/√n                               normal            x̄ ± z·σ/√n
Media μ (σ desconocida)      x̄                          s/√n                               t, n − 1 gl       x̄ ± t·s/√n
Proporción p                 p̂ = x/n                    √(p̂q̂/n)                           normal            p̂ ± z·√(p̂q̂/n)
Diferencia de medias         x̄₁ − x̄₂                    √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)                 t (Welch)         (x̄₁ − x̄₂) ± t·σ̂
Media de diferencias (pares) d̄                          s_d/√n                             t, n − 1 gl       d̄ ± t·s_d/√n
Diferencia de proporciones   p̂₁ − p̂₂                    √(p̂₁q̂₁/n₁ + p̂₂q̂₂/n₂)              normal            (p̂₁ − p̂₂) ± z·σ̂

Cómo elegir: (1) ¿qué parámetro se estima: una media, una proporción, una diferencia?; (2) si es una media, ¿se conoce σ?; (3) si son dos grupos, ¿independientes o pareados? Cómo leer cualquiera: con la confianza elegida, los valores del interior son compatibles con los datos y los del exterior no; en una diferencia, es decisivo si el 0 queda dentro o fuera; el nivel de confianza describe el método, no este intervalo; y más confianza o más precisión cuestan más datos.

Preguntas para pensar

• Dos encuestas con 30 personas cada una dan 40% y 70% de apoyo. ¿Qué pasaría con el intervalo si fueran 300 personas cada una con las mismas proporciones? ¿Qué decisión cambiaría?
• Un intervalo (−0,25; −0,03) y otro (−0,25; 0,10) tienen la misma estimación central. ¿Qué diferencia hay entre lo que permiten afirmar y por qué importa el 0?