D.6 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias

Con 20 meses de cada período, ¿cuánto pudo diferir el comportamiento medio del oro?

Las variaciones mensuales del precio del oro se dividieron en dos períodos: 2020-2022 y 2023-2026. De cada uno se tomó una muestra aleatoria de 20 meses. Promedios: 1,43% (período 1) y 2,84% (período 2); la diferencia observada es −1,41 puntos porcentuales. Como cada promedio es una estimación con error, esa diferencia también lo es: ¿entre qué valores puede estar la diferencia verdadera entre las medias de los dos períodos?

El intervalo de confianza del 95% para μ₁ − μ₂ es (−3,75; 0,94). Contiene al 0: con estas muestras, los datos son compatibles con que no haya diferencia, aunque la estimación puntual apunte a que el segundo período fue mejor. (Se sabe, porque se dispone de los 77 meses, que la diferencia real es −1,68: el intervalo la contiene, pero es tan ancho que no permite afirmarla.)

(−3,75; 0,94)

es el intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de las variaciones mensuales del oro en 2020-2022 y 2023-2026, con muestras de 20 meses de cada período.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; períodos, muestras y cálculo propios.

Dos muestras independientes: el intervalo

Las muestras son independientes si los valores de una población no están relacionados ni emparejados con los de la otra. El intervalo tiene la forma de siempre: estimación ± valor crítico × error estándar. La estimación es x̄₁ − x̄₂; el error estándar viene de la suma de las varianzas (tema C.7), estimadas con s₁² y s₂²:

σ̂ = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)                                           (error estándar estimado de la diferencia)
IC = (x̄₁ − x̄₂) ± t × σ̂                                           (intervalo para μ₁ − μ₂)
σ̂ = √(3,141²/20 + 4,101²/20) = 1,1551                        (con las dos muestras)
x̄₁ − x̄₂ = 1,431 − 2,838 = −1,407                         (diferencia observada)

El valor crítico t depende de los grados de libertad. Con varianzas distintas (el caso seguro por defecto) se usa la aproximación de Welch:

gl = (s₁²/n₁ + s₂²/n₂)² / [ (s₁²/n₁)²/(n₁ − 1) + (s₂²/n₂)²/(n₂ − 1) ]     (grados de libertad de Welch)
gl = 35,6                                                 (cercano a n₁ + n₂ − 2 = 38, porque s₁ y s₂ no son muy distintas)
t = 2,029;  E = t × σ̂ = 2,029 × 1,1551 = 2,3436                (valor crítico y margen de error)
IC = −1,407 ± 2,344 = (−3,750; 0,937)                       (intervalo de Welch)

Si se supone que las dos poblaciones tienen la misma varianza, se combinan las varianzas en una estimación conjunta s_p² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²]/(n₁ + n₂ − 2) = 13,343, el error estándar es s_p·√(1/n₁ + 1/n₂) = 1,1551, y con n₁ + n₂ − 2 = 38 grados de libertad (t = 2,024) el intervalo es (−3,745; 0,932): casi idéntico, porque s₁ (3,14) y s₂ (4,10) no son muy distintas. Cuando sí lo son, Welch es más seguro.

Cómo leer el intervalo de una diferencia

Lo clave es si el intervalo contiene el 0:

- Si el 0 queda dentro (aquí, de −3,75 a 0,94), la diferencia observada puede ser puro azar del muestreo: los datos son compatibles con medias iguales, y no es posible afirmar que un grupo supere al otro.
- Si el 0 queda fuera, con la confianza indicada, se puede afirmar que las medias son distintas, y el intervalo dice cuánto (en qué rango) difieren.

Estar dentro no prueba que las medias sean iguales: aquí la diferencia real es −1,68, pero con solo 20 datos por grupo y una dispersión grande (3,1 y 4,1), el intervalo es tan ancho (4,7 puntos de amplitud) que no la detecta. Para detectar diferencias moderadas hacen falta muestras mayores o menor dispersión (tema D.5).

Muestras pareadas: la misma unidad medida dos veces

Si los dos valores provienen de la misma unidad (los mismos meses, las mismas empresas antes y después de una medida), las muestras son dependientes y se trabaja con la diferencia de cada par, tratándola como una sola muestra:

d = x₁ − x₂ (por cada par);  d̄ = media de las diferencias       (la muestra pasa a ser una sola serie: la de las diferencias)
IC = d̄ ± t × s_d/√n   con n − 1 gl                              (intervalo t para la media de las diferencias)

Ejemplo: la variación mensual del oro menos la de la plata, mes por mes (las mismas fechas). Con una muestra de 20 meses: d̄ = −3,413, s_d = 6,686, s_d/√20 = 1,4950, t(19 gl) = 2,093, E = 3,129. Intervalo: (−6,542; −0,284). El 0 queda fuera: con esa muestra, la plata habría subido más que el oro, en promedio. (La media verdadera de las 77 diferencias es −0,722, dentro del intervalo.) Emparejar suele dar intervalos más angostos que tratar las dos series como independientes, porque las diferencias eliminan la variación común entre las dos mediciones (aquí, el movimiento del mercado de metales en cada mes).

Preguntas para pensar

• Dos regiones comparan el ingreso promedio con muestras de 30 hogares cada una, y el intervalo para la diferencia es (−120; 340) bolivianos. ¿Puede decir el informe que una región tiene mayor ingreso? ¿Qué haría falta para poder afirmarlo?
• ¿Por qué conviene emparejar cuando se comparan «antes» y «después» sobre las mismas empresas? ¿Qué pasaría con el intervalo si se las tratara como dos muestras independientes?