D.5 Tamaño de la muestra

¿Cuántos meses hay que observar para estimar el promedio con un error de 1 punto porcentual?

Antes de tomar una muestra hay que decidir cuántos elementos incluir. Si es muy pequeña, el intervalo de confianza resultará tan ancho que no servirá para decidir nada; si es demasiado grande, se desperdician tiempo y dinero. La pregunta correcta es: ¿qué margen de error se está dispuesto a aceptar y con qué nivel de confianza? A partir de esas dos decisiones, el tamaño necesario se calcula.

Para estimar la media de las variaciones mensuales del precio del oro (σ = 3,69%) con un margen de error de 1 punto porcentual y 95% de confianza, hacen falta n = (1,96 × 3,69 / 1)² = 52,3, es decir, 53 observaciones. Con un margen de 0,5 puntos, 210: más del doble para reducir el error a la mitad.

53 meses

es el tamaño de muestra necesario para estimar la media de las variaciones mensuales del oro con un margen de error de 1 punto porcentual al 95% de confianza (σ = 3,69%).

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; cálculo propio.

Tamaño de la muestra para estimar una media

El margen de error del intervalo para la media es E = z·σ/√n. Si se fija E de antemano, se despeja n:

E = z × σ / √n                                                   (margen de error de la media)
√n = z × σ / E                                                   (se despeja la raíz de n)
n = (z × σ / E)²                                                 (tamaño de muestra para estimar una media)
n = (1,960 × 3,6908 / 1)² = 52,33                           (para E = 1 pp, 95% de confianza)

El resultado se redondea siempre hacia arriba (53), porque redondear hacia abajo daría un margen de error mayor que el pedido. Con E = 0,5: n = (1,960 × 3,6908 / 0,5)² = 209,31 → 210.

Tres observaciones:

- El tamaño crece con el cuadrado de z·σ/E: duplicar la precisión (E a la mitad) cuadruplica el tamaño; subir la confianza de 95% a 99% (z de 1,96 a 2,576) aumenta n en un 73%.
- Necesita σ, que no se conoce. Se estima con un estudio piloto, con datos de un estudio anterior o con la regla del rango: σ ≈ rango/6 (porque un rango de unas seis desviaciones cubre casi todos los datos). Con las variaciones del oro, el rango es 18,3 y rango/6 = 3,05, algo menor que la σ real (3,69); como la subestima, la muestra resultante quedaría algo corta.
- La σ de partida debe ser prudente: si se subestima, la muestra queda corta y el intervalo, más ancho de lo previsto.

Tamaño de la muestra para estimar una proporción

Para una proporción, E = z·√(p·q/n), de modo que

n = z² × p × q / E²                                              (tamaño de muestra para estimar una proporción)
n = 3,8415 × 0,25 / 0,05² = 384,15                              (para E = 0,05, 95% de confianza y p desconocida, se usa p = 0,5)

Si no se tiene idea de p, se usa p = 0,5, que da el valor máximo de p·q = 0,25 y, por tanto, el tamaño más seguro: 385. Con una estimación previa p = 0,5455 (la proporción de meses de subida del oro): n = 3,8415 × 0,2479 / 0,05² = 380,96 → 381. De ahí viene el «n de 385» de muchas encuestas con margen de ±5 puntos al 95%; con ±3 puntos hacen falta unos 1.068, y con ±1 punto, unos 9.604.

Población finita: cuando la muestra sería una gran parte de la población

Las fórmulas anteriores suponen una población muy grande (o muestreo con reemplazo). Si la muestra es más del 5% de la población, el error estándar se reduce (tema C.3) y alcanza una muestra menor. El tamaño corregido es

n′ = n / (1 + (n − 1)/N)                                         (tamaño ajustado por población finita, con N el tamaño de la población)
n′ = 53 / (1 + 52/77) = 31,64 → 32                      (para E = 1 pp, con la σ de las 77 variaciones)
n′ = 210 / (1 + 209/77) = 56,54 → 57                    (para E = 0,5 pp)

La población de 77 meses es chica: para un margen de 1 pp bastan 32 meses en lugar de 53; con 0,5 pp, 57 en lugar de 210. Para poblaciones grandes (un país, una ciudad) el ajuste es insignificante y se usa la fórmula sin corregir.

Preguntas para pensar

• Un presupuesto permite encuestar 600 personas. ¿Qué margen de error obtendrías para una proporción al 95%? ¿Cómo cambiaría si el presupuesto se duplicara? ¿Vale la pena?
• Para estimar un promedio no se conoce σ. ¿Qué tres maneras hay de aproximarla antes de tomar la muestra y qué riesgo tiene cada una?