D.4 Intervalo de confianza para una proporción

En 22 de 36 meses el oro subió: ¿qué proporción de meses sube en realidad?

En una muestra aleatoria de 36 meses (de las 77 variaciones mensuales del precio del oro), el precio subió en 22. La proporción muestral es p̂ = 22/36 = 0,6111. ¿Es esa la proporción verdadera de meses de subida? No necesariamente: otra muestra habría dado otra. ¿Entre qué valores puede estar la proporción verdadera p?

La estimación por intervalo para una proporción sigue la misma lógica que para una media: se parte de la estimación puntual y se suma y resta un margen de error, que depende del error estándar de la proporción y del nivel de confianza. Con 95% de confianza, el intervalo es (0,452; 0,770).

(0,452; 0,770)

es el intervalo de confianza del 95% para la proporción de meses de subida del precio del oro, con una muestra de 36 meses en la que subió en 22 (p̂ = 0,611).

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; muestra y cálculo propios.

El intervalo para una proporción

La proporción muestral p̂ = x/n tiene media p y error estándar √(p·q/n), y es aproximadamente normal si n·p y n·q son de al menos 5 (tema C.6). Pero el error estándar exacto depende de la proporción desconocida de la población, p; por eso se estima p mediante p̂ y se obtiene el error estándar estimado:

σ̂ = √(p̂ × q̂ / n)                                                 (error estándar estimado de la proporción, con q̂ = 1 − p̂)
IC = p̂ ± z × √(p̂ q̂ / n)                                          (intervalo de confianza para la proporción)

Con los datos de la muestra:

p̂ = 22/36 = 0,6111;  q̂ = 0,3889                              (proporción muestral y su complemento)
σ̂ = √(0,6111 × 0,3889 / 36) = 0,0812                           (error estándar estimado)
E = z × σ̂ = 1,960 × 0,0812 = 0,1592                         (margen de error al 95%)
IC = 0,6111 ± 0,1592 = (0,4519; 0,7704)                     (límites inferior y superior)

Condiciones. Muestra aleatoria y n·p̂ ≥ 5 y n·q̂ ≥ 5: aquí 36 × 0,611 = 22,0 y 36 × 0,389 = 14,0: se cumplen. Si p̂ está cerca de 0 o de 1, o n es chico, el método falla (el intervalo puede salirse de [0, 1]); existen métodos más precisos, pero el de esta sección es el estándar de los cursos.

Interpretación. Igual que con la media: el 95% describe el procedimiento (de cada 100 intervalos así construidos, unos 95 contienen la proporción verdadera). Lo que dice este intervalo es que las proporciones entre 45% y 77% son compatibles con la muestra. Como 0,5 queda dentro, no puede afirmarse que el oro suba en más (ni en menos) de la mitad de los meses.

Más confianza, más ancho; y la verdad conocida

Con la misma muestra, un nivel de 99% usa z = 2,576 y el margen de error crece de 0,159 a 0,209: el intervalo pasa a (0,402; 0,820). Es el mismo compromiso entre confianza y precisión del tema D.2.

En este caso se conoce la proporción verdadera, porque la población son los 77 meses: p = 42/77 = 0,5455. El intervalo del 95% (0,452; 0,770) la contiene, como se espera en 95 de cada 100 muestras. (Nota: la muestra es el 47% de la población; con una población finita tan pequeña el intervalo real sería algo más angosto, ver el tema D.5.) En la práctica, la proporción verdadera nunca se conoce; para eso se construye el intervalo.

Preguntas para pensar

• Una encuesta con 400 personas dice que 30% apoya una medida, con un margen de error de 4,5 puntos. ¿Cómo explicarías ese margen sin fórmulas? ¿Qué pasaría con otra encuesta con la misma proporción pero 1.600 personas?
• Si p̂ es muy cercana a 0 o a 1, el intervalo puede salirse de [0, 1]. ¿Por qué ocurre y qué advertencia haría en un informe?