D.3 Intervalo de confianza para la media con σ desconocida (t de Student)

Con 10 meses y σ desconocida, ¿entre qué valores está la media del oro?

Una muestra aleatoria de 10 variaciones mensuales del precio del oro tiene x̄ = 2,27% y s = 2,06%. A diferencia del tema anterior, aquí no se conoce σ: solo se dispone de la desviación estándar de la muestra. Ese es el caso habitual en la práctica. El error estándar se estima con s/√n = 0,652 pp, y como s también varía de una muestra a otra, el intervalo no se construye con el valor z de la normal sino con el de la t de Student con n − 1 = 9 grados de libertad.

Para un nivel de 95%, el intervalo es (0,79%; 3,75%). Si se hubiera usado z = 1,96 por error, resultaría más angosto, (0,99%; 3,55%), y prometería una confianza que no tiene.

(0,79%; 3,75%)

es el intervalo de confianza del 95% para la media de las variaciones mensuales del oro con una muestra de 10 meses (x̄ = 2,27%, s = 2,06%), con la t de Student de 9 grados de libertad.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; muestra y cálculo propios.

El intervalo con la t

Cuando σ es desconocida, se sustituye por s y el valor z por el valor t con n − 1 grados de libertad:

IC = x̄ ± t × s/√n                                                 (intervalo de confianza para la media, σ desconocida)
e = s/√n = 2,0626 / √10 = 0,6523                                  (error estándar estimado)
t = 2,262                                                    (valor crítico: deja 2,5% en cada cola, con 9 gl)
E = t × e = 2,262 × 0,6523 = 1,4755                          (margen de error)
IC = 2,2699 ± 1,4755 = (0,7943; 3,7454)                     (límites inferior y superior)

El valor t crítico se lee en la tabla de la t en la fila de los grados de libertad y la columna de la cola correspondiente (para 95% de confianza, 0,025 por cola), o se calcula con la hoja. Es mayor que el z de 1,96 (aquí 2,262), lo que ensancha el intervalo y compensa la incertidumbre de estimar σ. A medida que n crece, t se acerca a z y la diferencia desaparece.

Supuestos: muestra aleatoria y población aproximadamente normal. Con muestras pequeñas conviene mirar los datos (un valor muy atípico o una asimetría fuerte invalida la t). Nótese que el tamaño de la muestra es solo una de las condiciones para usar la t; la otra, decisiva, es que σ sea desconocida.

Qué pasa si se usa z en lugar de t

Para ver la diferencia, una simulación: se toman 40.000 muestras de n = 10 de la población real de 77 variaciones, y con cada una se construye un intervalo del 95%.

C_t = 94,9%                                             (cobertura con t = 2,262: porcentaje de intervalos que contienen la media verdadera)
C_z = 91,8%                                             (cobertura con z = 1,960: un valor demasiado pequeño deja afuera la media más veces)

Con la t, la cobertura es prácticamente el 95% que se promete; con z baja a 91,8%, de modo que el intervalo promete una confianza que no tiene. El simulador de abajo permite repetir el experimento: alterna entre «σ conocida» (usa z con la σ verdadera) y «σ desconocida» (usa t con s) y observa la cobertura.

Cómo leer un intervalo: valores compatibles con los datos

El intervalo (0,79%; 3,75%) reúne los valores de la media que son compatibles con los datos al nivel de confianza elegido. Sirve para contrastar afirmaciones:

- ¿Es compatible un promedio de 1%? Sí: 1% está dentro del intervalo.
- ¿Es compatible un promedio de 4%? No: 4% está fuera (3,75% es el límite superior); con 95% de confianza se puede decir que la media no es 4%.
- ¿Es compatible un promedio de 0%? No: 0 está por debajo del límite inferior (0,79%).

Atención a la lógica: que un valor esté dentro del intervalo no prueba que sea el verdadero; solo significa que los datos no lo contradicen (muchos otros valores del intervalo también serían compatibles). En cambio, un valor fuera del intervalo sí se puede descartar, con la confianza indicada. Esa es la base de las pruebas de hipótesis: un intervalo del 95% y una prueba con nivel de significancia de 5% llegan a la misma conclusión sobre la media.

Preguntas para pensar

• Un colega calcula un intervalo con z = 1,96 para una muestra de 12 datos con s estimada. ¿Qué le dirías y qué efecto práctico tendría su error?
• Si el intervalo (0,8; 3,7) incluye al valor 1 pero también al 3, ¿qué decisiones se podrían tomar con esa información? ¿Qué harías para tener un intervalo más angosto?