D.2 Intervalo de confianza para la media con σ conocida

Un promedio de 36 meses dio 1%: ¿entre qué valores se mueve la media verdadera?

Una muestra aleatoria de 36 de las 77 variaciones mensuales del precio del oro tiene un promedio de x̄ = 0,99%. Se sabe (supuesto de partida del tema) que la desviación estándar de la población es σ = 3,69%. La media verdadera μ no es exactamente 0,99%, pero tampoco puede estar a cualquier distancia: el error estándar es 0,62 pp. ¿Entre qué valores se puede afirmar que está μ, y con cuánta confianza?

La respuesta es un intervalo de confianza: el rango de la estimación, construido a partir del promedio muestral y de su error estándar, de modo que, si el procedimiento se repitiera muchas veces, un porcentaje fijo de los intervalos (el nivel de confianza) contendría la media verdadera. Para el nivel de 95%, el intervalo de esta muestra es (−0,21%; 2,20%).

(−0,21%; 2,20%)

es el intervalo de confianza del 95% para la media de las variaciones mensuales del oro, con una muestra de 36 meses (x̄ = 0,99%) y σ = 3,69%.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; muestra y cálculo propios.

Construcción del intervalo cuando σ es conocida

Por el teorema del límite central, x̄ es aproximadamente normal con media μ y error estándar σ/√n, de modo que Z = (x̄ − μ)/(σ/√n) es normal estándar. Para un nivel de confianza 1 − α (95%: α = 0,05), el valor crítico z deja α/2 en cada cola (para 95%, z = 1,96). Entonces:

P(−z ≤ (x̄ − μ)/(σ/√n) ≤ z) = 1 − α                              (el 95% central de la normal estándar)
P(x̄ − z·σ/√n ≤ μ ≤ x̄ + z·σ/√n) = 1 − α                          (se despeja μ en el centro de la desigualdad)
IC = x̄ ± z × σ/√n                                                (intervalo de confianza para la media, σ conocida)

Con los datos de la muestra:

σ/√n = 3,6908 / √36 = 0,6151                                (error estándar de la media)
E = z × σ/√n = 1,960 × 0,6151 = 1,2056                         (margen de error: la mitad del intervalo)
IC = 0,9933 ± 1,2056 = (−0,2124; 2,1989)                       (límites inferior y superior)

El margen de error E es la distancia del promedio muestral a cada extremo, y la amplitud del intervalo es 2E. Los valores críticos habituales son 1,282 (80%), 1,645 (90%), 1,960 (95%) y 2,576 (99%). Nota: esta muestra es el 47% de los 77 meses; con una población finita tan pequeña el error estándar real sería algo menor (corrección por población finita, tema C.3 y D.5), y aquí se la ignora para centrar la atención en el método.

Qué significa «95% de confianza»

El intervalo de confianza es el rango de la estimación, y el nivel de confianza indica qué tanta confianza se tiene de que ese rango incluya el parámetro. La interpretación correcta habla del procedimiento: si se tomaran muchas muestras del mismo tamaño y con cada una se construyera un intervalo de esta forma, alrededor del 95% de esos intervalos contendría la media verdadera. Con el simulador de abajo se ve: de cada 100 intervalos, unos 95 contienen μ y unos 5 no (los rojos).

La media verdadera μ es un número fijo, desconocido; lo aleatorio es el intervalo. Por eso hay dos interpretaciones incorrectas frecuentes:

- «Hay 95% de probabilidad de que μ esté entre −0,21 y 2,20»: una vez calculado el intervalo, μ está dentro o no lo está (no hay azar); el 95% describe la confiabilidad del método, no de este intervalo concreto.
- «El 95% de los datos individuales cae dentro del intervalo»: el intervalo es sobre el promedio, que varía mucho menos que los datos.

Una lectura práctica: el intervalo (−0,21%; 2,20%) contiene a 0%: con esta muestra, los datos son compatibles con que el promedio de las variaciones sea cero. Pero eso no prueba que sea cero; indica que no se puede descartar. Decidir formalmente es el objeto de las pruebas de hipótesis.

De qué depende la amplitud del intervalo

La amplitud 2·z·σ/√n depende de tres cosas:

- Nivel de confianza: más confianza exige un z mayor y, por tanto, un intervalo más ancho. Con la misma muestra:

Nivel de confianza     z crítico     Margen de error E = z·σ/√n     Intervalo
    80%                 1,282                 0,788                  (0,20; 1,78)
    90%                 1,645                 1,012                  (−0,02; 2,01)
    95%                 1,960                 1,206                  (−0,21; 2,20)
    99%                 2,576                 1,584                  (−0,59; 2,58)

- σ: más variabilidad en la población, intervalo más ancho.
- n: más datos, error estándar menor, intervalo más estrecho, pero con la raíz de n: para reducir a la mitad el margen hay que cuadruplicar la muestra.

Tamaño n     Error estándar σ/√n     Margen de error al 95%     Amplitud del intervalo
     9             1,230                 2,411                   4,822
    36             0,615                 1,206                   2,411
   144             0,308                 0,603                   1,206
   576             0,154                 0,301                   0,603

Hay un compromiso: un intervalo del 99% casi seguro contiene a μ pero es tan ancho que dice poco; uno del 80% es angosto pero se equivoca una de cada cinco veces. El 95% es la convención. La única forma de ganar a la vez confianza y precisión es aumentar la muestra (o reducir la variabilidad con mejores mediciones).

Preguntas para pensar

• Un informe dice «con 95% de confianza, el crecimiento medio está entre 1% y 3%». ¿Cómo explicarías a un directivo, sin fórmulas, qué significa eso y qué no significa?
• Entre un intervalo del 99% y otro del 90% con la misma muestra, ¿cuál usarías para decidir una inversión cara y cuál para una exploración rápida? ¿Por qué?