D.1 Estimadores y estimaciones: puntual y por intervalo

¿Qué número se anota como «el promedio verdadero» y con qué margen se acompaña?

Con una muestra de 10 meses de variaciones del precio del oro se obtuvo un promedio de 2,27%. Ese número es una estimación puntual de la media de la población (que en la práctica no se conoce): es un único valor. Pero ya se sabe que otra muestra habría dado otro promedio. Anotar solo «2,27%» oculta esa incertidumbre. Una estimación por intervalo da, en cambio, un rango de valores plausibles para el parámetro, con un nivel de confianza asociado: «entre 0,8% y 3,7%, con 95% de confianza».

Este tema aclara dos preguntas previas: qué hace que un estadístico sea un buen estimador (para elegir la media muestral en lugar de otras opciones) y qué significa un intervalo de confianza, que es el resultado central de la sección.

2,27%

es la estimación puntual de la media de las variaciones mensuales del oro a partir de una muestra de 10 meses; su error de muestreo respecto de la media de los 77 meses (1,37%) es 0,90 puntos porcentuales.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; muestra y cálculo propios.

Estimador, estimación y los tipos de estimación

Un estimador es una regla o fórmula que usa los datos de la muestra para estimar un parámetro (la media muestral x̄ estima μ; la proporción muestral p̂ estima p; la varianza muestral s² estima σ²). Una estimación es el valor numérico que esa regla da con una muestra concreta. El estimador es una variable aleatoria (cambia de muestra a muestra); la estimación es un número.

- Una estimación puntual es un solo número que se usa para estimar un parámetro de población desconocido. Tiene una limitación: no dice nada sobre su precisión.
- Una estimación por intervalo da un rango de valores, construido de modo que contenga el parámetro con una probabilidad (el nivel de confianza) conocida de antemano. La probabilidad que se asocia con una estimación de intervalo se conoce como nivel de confianza; los niveles más usados son 90%, 95% y 99%.

Qué hace bueno a un estimador: cuatro criterios

1. Insesgado. Un estimador es insesgado si, en promedio, acierta: la media de su distribución muestral es el parámetro. La media muestral es insesgada para μ (tema C.3). La varianza muestral con divisor n no lo es: subestima. Simulando 100.000 muestras de n = 5 de la población de 77 meses (cuya varianza poblacional es σ² = 13,622):

m₁ = 13,658                                                (promedio de s² con divisor n − 1, cercano a σ² = 13,622: es insesgado)
m₂ = 10,927                                                (promedio de s² con divisor n, cercano a 0,8 × σ² = 10,897: sesgado hacia abajo)

Por eso la varianza muestral se calcula dividiendo entre n − 1, como se vio en el tema A.4.

2. Eficiente. Entre dos estimadores insesgados, es más eficiente el de menor error estándar. Con las mismas muestras de n = 5, la varianza de la media muestral es 2,725 y la de la mediana muestral es 4,161: la mediana, aunque también estima el centro, varía más (1,53 veces) y es menos eficiente.

3. Consistente. Un estimador es consistente si, al aumentar n, es casi seguro que su valor se aproxima al parámetro. La media muestral lo es:

Tamaño de la muestra n      Proporción de medias que quedan a menos de 0,5 pp de μ
         5                         0,242
        20                         0,460
        80                         0,773
       320                         0,984

4. Suficiente. Un estimador es suficiente si usa toda la información de la muestra relevante para el parámetro: la media muestral usa todos los datos, mientras que, por ejemplo, el promedio del mayor y el menor valor desperdicia información.

La media muestral cumple los cuatro criterios para estimar la media poblacional; por eso se usa en todo lo que sigue.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué un estimador puntual sin margen de error puede ser engañoso en un informe? Da un ejemplo económico donde dos muestras llevarían a decisiones opuestas.
• La varianza muestral con divisor n subestima la varianza poblacional. ¿Cómo explicarías sin fórmulas por qué una muestra tiende a ser menos dispersa que la población de la que sale?