C.7 Distribución muestral de la diferencia de medias y de proporciones

¿Cambió el comportamiento del oro entre 2020-2022 y 2023-2026?

Se dividen las 77 variaciones mensuales del precio del oro en dos períodos: 2020-2022 (35 meses, media 0,45%, desviación 3,18%) y 2023-2026 (42 meses, media 2,14%, desviación 3,91%). Si de cada período se toma una muestra de 20 meses y se calcula la diferencia entre sus promedios, x̄₁ − x̄₂, ese número varía de muestra en muestra. ¿Cuál es su distribución? ¿Qué probabilidad hay de que el primer período salga con promedio mayor que el segundo?

Comparar dos grupos es lo más frecuente en la práctica (antes y después, hombres y mujeres, región A y región B), y la distribución muestral de la diferencia de dos medias o de dos proporciones es la base de los intervalos y pruebas para comparar grupos que se verán en las secciones siguientes.

−1,68 pp

es la diferencia entre las medias poblacionales de las variaciones mensuales del oro en 2020-2022 (0,45%) y 2023-2026 (2,14%).

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro, 2020-2026; períodos y cálculo propios.

La diferencia de dos medias muestrales

Se toman muestras independientes de dos poblaciones: n₁ de la población 1 (media μ₁, desviación σ₁) y n₂ de la población 2 (μ₂, σ₂). La distribución muestral de x̄₁ − x̄₂ tiene:

μ(x̄₁ − x̄₂) = μ₁ − μ₂                                              (la diferencia de las medias poblacionales)
σ(x̄₁ − x̄₂) = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)                                   (error estándar de la diferencia)

La desviación estándar de la distribución de las diferencias entre las medias de las muestras se llama error estándar de la diferencia entre dos medias. Se obtiene tomando la raíz cuadrada de la suma de la varianza de la población 1 dividida entre el tamaño de su muestra y la varianza de la población 2 dividida entre el tamaño de su muestra. Una observación importante: las medias se restan, pero las varianzas se suman; la diferencia de dos cantidades con incertidumbre es más incierta que cada una.

La distribución de x̄₁ − x̄₂ es normal si las dos poblaciones son normales o si n₁ y n₂ son grandes (teorema del límite central). Si σ₁ y σ₂ son desconocidas, se estiman con s₁ y s₂, y (con muestras chicas) se usa la t, como se verá al comparar medias.

Aplicación: los dos períodos del oro

Con n₁ = n₂ = 20:

μ₁ − μ₂ = 0,4544 − 2,1374 = −1,6830                              (diferencia esperada, en puntos porcentuales)
σ(x̄₁ − x̄₂) = √(3,1764²/20 + 3,9087²/20) = 1,1262                 (error estándar de la diferencia)
z = (0 − −1,6830) / 1,1262 = 1,4944                              (el valor 0 estandarizado)
P(x̄₁ − x̄₂ ≥ 0) = 1 − P(Z ≤ 1,49) = 0,0681                      (cola derecha)

Es decir, con esas muestras de 20 meses cada una, hay 6,8% de probabilidad de que el período 1 salga con un promedio mayor que el 2 (una simulación de 50.000 pares de muestras da 6,7%). La diferencia esperada (1,68 pp, con el período 2 arriba) equivale a 1,49 errores estándar. Por eso, en la mayoría de los pares de muestras el período 2 sale con promedio mayor, pero no en todos: en cerca de 7% de los casos el azar invierte el orden. Con muestras chicas, una diferencia real puede quedar tapada por la variación del muestreo; con muestras mayores, el error estándar baja y esa probabilidad se acerca a 0. Es la idea de fondo de una prueba de hipótesis para comparar dos medias.

La diferencia de dos proporciones muestrales

Para proporciones es igual de directo. Con proporciones poblacionales p₁ y p₂ y muestras independientes de tamaños n₁ y n₂:

μ(p̂₁ − p̂₂) = p₁ − p₂                                              (la diferencia de las proporciones poblacionales)
σ(p̂₁ − p̂₂) = √(p₁q₁/n₁ + p₂q₂/n₂)                                 (error estándar de la diferencia de proporciones)

La distribución es aproximadamente normal si n₁p₁, n₁q₁, n₂p₂ y n₂q₂ son todos de al menos 5. En los dos períodos, la proporción de meses de subida del oro fue p₁ = 16/35 = 0,4571 y p₂ = 26/42 = 0,6190. Con n₁ = n₂ = 40:

p₁ − p₂ = 0,4571 − 0,6190 = −0,1619                              (diferencia esperada)
σ = √(0,4571 × 0,5429/40 + 0,6190 × 0,3810/40) = 0,1100                (error estándar de la diferencia)
z = (0 − −0,1619) / 0,1100 = 1,4719                          (valor 0 estandarizado)
P(p̂₁ − p̂₂ ≥ 0) = 0,0705                                         (probabilidad de que el período 1 tenga mayor proporción de subidas)

Es decir, con muestras de 40 meses cada una, hay alrededor de 7% de probabilidad de que el azar invierta el orden de las dos proporciones: la diferencia (0,16) equivale a 1,47 errores estándar.

Preguntas para pensar

• Con las muestras de 20 meses, la probabilidad de que el período 1 supere al 2 es de 7%. ¿Qué tendría que cambiar (muestras mayores, diferencia mayor, menor dispersión) para que esa probabilidad se acercara a 0?
• Un estudio compara la proporción de empresas que exportan antes y después de una medida, con muestras independientes. ¿Qué supuestos necesitas para usar el error estándar de la diferencia de proporciones? ¿Cambia algo si las muestras son de las mismas empresas?