C.6 Distribución muestral de la proporción

En una muestra de 36 meses, ¿qué proporción habrá tenido subida del oro?

De las 77 variaciones mensuales del precio del oro entre febrero de 2020 y junio de 2026, 42 fueron subidas: una proporción poblacional p = 42/77 = 0,5455. Si se toma una muestra aleatoria de 36 meses, la proporción de meses de subida en la muestra, p̂, no será exactamente 0,55: variará de muestra a muestra. ¿Cuánto? ¿Qué probabilidad hay de que p̂ llegue a 0,75 o más?

Una proporción es el caso particular de una media (cada mes vale 1 si subió y 0 si no, y p̂ es el promedio de esos unos y ceros), de modo que todo lo visto sobre la media se traslada: tiene una distribución muestral con media p y un error estándar propio, y es aproximadamente normal.

54,5%

de los 77 meses (febrero de 2020 a junio de 2026) el precio del oro subió: es la proporción poblacional p = 42/77.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; conteo propio de las variaciones positivas.

La distribución muestral de la proporción

Sea p la proporción de la población con cierta característica y p̂ = X/n la proporción en una muestra aleatoria de tamaño n (X es el número de elementos con la característica en la muestra). Como X es binomial con parámetros n y p (tema B.2), de sus resultados:

μ_p̂ = p                                                          (la media de las proporciones muestrales es la proporción de la población)
σ_p̂ = √(p × q / n)                                               (error estándar de la proporción, con q = 1 − p)

Se obtienen de la binomial dividiendo por n: E(X/n) = np/n = p y Var(X/n) = npq/n² = pq/n. Las proporciones muestrales tienden a distribuirse normalmente, y su media es igual a la proporción de la población. La aproximación normal es buena cuando n·p y n·q son de al menos 5 (o 10, según el texto): aquí, 36 × 0,5455 = 19,6 y 36 × 0,4545 = 16,4: se cumple.

Igual que con la media, el error estándar baja con √n: con n = 144 es √(0,5455 × 0,4545 / 144) = 0,0415, la mitad que con n = 36 (0,0830). Y si se muestrea sin reemplazo una fracción mayor de 5% de la población, se aplica el factor de corrección √((N − n)/(N − 1)). Cuando p es desconocida (la situación real), el error estándar se estima con la proporción de la muestra: √(p̂ q̂ / n).

Calcular probabilidades de p̂

Problema: con n = 36, ¿P(p̂ ≥ 0,75)?

σ_p̂ = √(0,5455 × 0,4545 / 36) = 0,0830                              (error estándar de la proporción)
z = (0,75 − 0,5455) / 0,0830 = 2,4648                              (puntuación z de p̂)
P(p̂ ≥ 0,75) = 1 − P(Z ≤ 2,46) = 0,0069                                (cola derecha, con la tabla)

La probabilidad es 0,0069 con más decimales de z. Para comprobarlo, la probabilidad exacta con la binomial (p̂ ≥ 0,75 equivale a X ≥ 27 de 36) es 0,0095, y una simulación de 200.000 muestras da 0,0093. Con la corrección por continuidad (restar 0,5/n = 0,0139 al valor de p̂, como en el tema B.8) la normal da 0,0108, más cerca del valor exacto. Interpretación: es muy poco probable (alrededor de 1 en 146) que una muestra de 36 meses tenga una proporción de subidas de 75% o más, si la proporción verdadera es 55%.

Preguntas para pensar

• Un sondeo con n = 1.000 da una proporción de 52% para una opción. Con un error estándar cercano a 1,6 puntos, ¿puede afirmarse que la opción tiene mayoría? ¿Qué más hay que mirar?
• ¿Por qué una proporción es un caso particular de una media? Explica cómo se pasa de la fórmula del error estándar de la media a la de la proporción.