C.5 La distribución t de Student

Con solo 10 meses y sin conocer σ, ¿qué tan lejos de una referencia de 1% queda el promedio?

En el tema anterior se estandarizaba el promedio con σ, la desviación de toda la población. En la práctica, σ casi nunca se conoce: hay que estimarla con la desviación s de la muestra. Con una muestra de 10 meses de variaciones del precio del oro se obtuvo x̄ = 2,27% y s = 2,06%. ¿Qué tan lejos está x̄ de una referencia de μ₀ = 1%, medido en errores estándar?

Al cambiar σ por s la cuenta parece igual, pero el estadístico resultante ya no es normal: s también varía de una muestra a otra, y con pocos datos esa incertidumbre es grande. Su distribución es la t de Student, ligeramente más ancha que la normal, que depende del tamaño de la muestra por medio de los grados de libertad.

1,95

es el valor del estadístico t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) para una muestra de 10 meses (x̄ = 2,27%, s = 2,06%) frente a una referencia de 1%, con 9 grados de libertad.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; muestra de 10 variaciones y cálculo propios.

Por qué existe la t y cuándo se usa

Con σ conocida, Z = (x̄ − μ)/(σ/√n) es normal estándar. Con σ desconocida, se la sustituye por s y se obtiene

t = (x̄ − μ) / (s/√n)                                             (estadístico t: igual que z, pero con la desviación de la muestra)
gl = n − 1                                                       (grados de libertad de la distribución t)

El uso de la distribución t se requiere cuando el tamaño de la muestra es menor o igual que 30 y la desviación estándar de la población no se conoce. Además, al usarla se supone que la población es normal o aproximadamente normal. (Hoy se recomienda usar la t siempre que σ sea desconocida, sea cual sea n: con muestras grandes da lo mismo que la normal.) Fue desarrollada por W. S. Gosset, empleado de una cervecería, que publicaba con el seudónimo de Student.

Grados de libertad. Si se sabe que la media de dos valores es 18 y se conoce uno de ellos (10), el otro queda determinado (26): hay un solo valor libre, es decir, un grado de libertad. En general, una muestra de n datos con la media ya calculada tiene n − 1 grados de libertad, porque una vez fijada la media, solo n − 1 datos pueden variar libremente. En el lenguaje estadístico: «tenemos un grado de libertad». Por eso la t de una muestra de 10 datos usa gl = 9.

Cómo es la distribución t

La distribución t:

- Es simétrica y con forma de campana, centrada en 0 (como la normal estándar).
- Es más plana y con colas más pesadas que la normal: da más probabilidad a valores extremos, lo que refleja la incertidumbre añadida por estimar σ.
- Hay una distribución t distinta para cada gl. Cuanto mayor es gl, más se parece a la normal estándar; con gl = ∞ coincide con ella.

La diferencia se nota en los valores críticos: el valor que deja 2,5% en cada cola.

gl (n − 1)      Valor t para 95% central (t_0,975)      Diferencia con z = 1,96
     1                    12,706                           10,746
     2                     4,303                            2,343
     5                     2,571                            0,611
     9                     2,262                            0,302
    10                     2,228                            0,268
    20                     2,086                            0,126
    30                     2,042                            0,082
    60                     2,000                            0,040
   120                     1,980                            0,020
  ∞                          1,960                            0,000

Con 9 grados de libertad el valor crítico es 2,262, bastante mayor que 1,96: un intervalo de confianza hecho con la t es más ancho que con la normal, y cuesta más rechazar una hipótesis. A partir de 30 grados la diferencia es pequeña (2,042 frente a 1,960) y por eso se usaba la regla práctica de n = 30.

Calcular con la t: el ejemplo de los 10 meses

e = s/√n = 2,0626 / √10 = 0,6523                                  (error estándar estimado, en puntos porcentuales)
t = (x̄ − μ₀) / (s/√n) = (2,2699 − 1) / 0,6523 = 1,9469                    (distancia a la referencia en errores estándar)
gl = 10 − 1 = 9                                                  (grados de libertad)

Con la tabla de la t, para 9 gl, el valor 2,262 deja 2,5% en cada cola. Como t = 1,95 está entre 1,833 (que deja 5% en la cola derecha) y 2,262 (que deja 2,5%) para 9 gl, la probabilidad de la cola derecha queda entre esos dos valores: aproximadamente 0,042 (con la función de la hoja: 0,0417) y la de las dos colas, 0,083. La tabla de la t, a diferencia de la normal, da directamente las áreas de cola para cada gl y es más corta (no hay una tabla por cada n); con la computadora se obtiene la probabilidad exacta.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué hoy se recomienda usar la t siempre que σ sea desconocida, aunque la muestra tenga más de 30 datos? ¿Qué ganas y qué pierdes?
• La t supone una población normal o aproximadamente normal. ¿Qué podrías mirar en una muestra de 10 datos para dudar de ese supuesto, y qué harías si dudaras?