C.4 El teorema del límite central

¿Qué probabilidad hay de que el promedio de 36 meses del oro supere 2,5%?

Las 77 variaciones mensuales del precio del oro tienen μ = 1,37% y σ = 3,69%, y no forman una distribución normal perfecta (hay saltos extremos de hasta 10,6%). Si se elige una muestra al azar de 36 meses, ¿cuál es la probabilidad de que su promedio sea 2,5% o más?

Responderlo exigiría conocer la distribución muestral de la media, que depende de la forma de la población. Aquí interviene un resultado central de la estadística: el teorema del límite central. Dice que, aunque la población no sea normal, la distribución de los promedios se aproxima a una normal cuando la muestra es suficientemente grande. Con eso, una sola puntuación z contesta la pregunta.

3,34%

es la probabilidad de que el promedio de una muestra de 36 meses sea 2,5% o más, según el teorema del límite central; una simulación de 100.000 muestras dio 3,51%.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro, 2020-2026; cálculo y simulación propios.

El teorema del límite central

Enunciado. Si de una población con media μ y desviación estándar σ (de cualquier forma) se toman muestras aleatorias de tamaño n suficientemente grande, la distribución muestral de la media x̄ es aproximadamente normal con media μ y desviación estándar σ/√n.

Es el resultado más importante de la inferencia estadística: asegura que la distribución muestral de la media se aproxima a la normal al incrementarse el tamaño de la muestra. Hay tres matices:

- Población normal: la distribución de x̄ es exactamente normal para cualquier n, incluso n = 1.
- Población no normal: hay aproximación normal cuando n es grande. La regla práctica es n ≥ 30; con poblaciones muy asimétricas, se necesitan muestras mayores, y con poblaciones casi simétricas bastan muestras menores.
- Qué no dice: no dice que los datos individuales sean normales (no lo son), ni sirve para muestras no aleatorias, ni para observaciones dependientes entre sí.

La simulación de abajo lo muestra: con una población exponencial, muy sesgada hacia la derecha, los promedios de muestras de n = 1 repiten la forma de la población; con n = 5 ya se simetrizan; con n = 30 son una campana casi perfecta.

Cómo se usa: estandarizar la media muestral

Con el teorema, la media muestral se estandariza como cualquier variable normal, pero con el error estándar en el denominador:

Z = (x̄ − μ) / (σ/√n)                                              (puntuación z de la media muestral)
σ_x̄ = σ / √n = 3,6908 / √36 = 0,6151                         (error estándar con n = 36)
z = (2,5 − 1,3724) / 0,6151 = 1,8331                          (la media de 2,5% está a 1,83 errores estándar de μ)
P(x̄ ≥ 2,5) = 1 − P(Z ≤ 1,83) = 1 − 0,9664 = 0,0336          (cola derecha, con la tabla)

Con más decimales de z da 0,0334; la simulación de 100.000 muestras sacó 0,0351: la aproximación funciona bien con n = 36.

La media varía mucho menos que los datos individuales. En los datos, 27 de los 77 meses (35,1%) tuvieron una variación de 2,5% o más: un mes así es frecuente. En cambio, que el promedio de 36 meses llegue a 2,5% es poco probable (0,033). Un promedio es una cantidad «amortiguada»: los meses altos y bajos se compensan.

Otro cálculo típico es el de un intervalo: P(0 ≤ x̄ ≤ 1) = P(−2,23 ≤ Z ≤ −0,61) = 0,2596: el promedio de 36 meses cae entre 0% y 1% con esa probabilidad.

Preguntas para pensar

• Un colega aplica el teorema del límite central a una muestra de n = 8 meses de una variable muy asimétrica y calcula una probabilidad con la tabla Z. ¿Qué reparos le harías? ¿Qué pasaría con n = 100?
• El teorema supone una muestra aleatoria con observaciones independientes. ¿Es razonable suponerlo para meses consecutivos de una serie de precios? ¿Qué cambiaría en el cálculo del error estándar?