C.3 Distribución muestral de la media y error estándar

¿Cuánto varía el promedio de 12 meses de un grupo de muestras a otro?

Las 77 variaciones mensuales del precio del oro tienen media μ = 1,37% y desviación estándar σ = 3,69%. Si se toma una muestra de 12 meses y se calcula su promedio, ese promedio no será exactamente 1,37%. Si se repitiera el muestreo muchas veces, se obtendrían muchos promedios distintos. ¿Cómo se distribuyen? ¿En torno a qué valor? ¿Con qué dispersión?

La distribución de todos los promedios posibles de muestras del mismo tamaño se llama distribución muestral de la media. Conocerla permite decir cuánto puede equivocarse un promedio muestral, y su dispersión tiene nombre propio: el error estándar. Con n = 12 resulta σ/√12 = 1,07 puntos porcentuales: muchísimo menor que la dispersión de los datos individuales, 3,69.

1,07 pp

es el error estándar de la media para muestras de 12 meses (σ/√n = 3,69/√12), frente a la desviación de 3,69 pp de las variaciones individuales.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro, 2020-2026; cálculo propio.

Un ejemplo completo: todas las muestras de una población pequeña

Para ver la idea sin simulación, una población de N = 5 elementos: el valor exportado en 2024 de cada producto, en MUSD (gas natural 1.614,7; soya 673,9; zinc 1.415,7; plata 1.327,1; oro 693,3). Su media es μ = 1.144,94 y su desviación estándar poblacional σ = 388,06. Se toman muestras de n = 2 con reemplazo: hay 5 × 5 = 25 muestras posibles, todas igualmente probables. Los 25 promedios:

x̄ de (a, b)       Gas natural        Soya        Zinc       Plata         Oro
Gas natural        1.614,7     1.144,3     1.515,2     1.470,9     1.154,0
Soya               1.144,3       673,9     1.044,8     1.000,5       683,6
Zinc               1.515,2     1.044,8     1.415,7     1.371,4     1.054,5
Plata              1.470,9     1.000,5     1.371,4     1.327,1     1.010,2
Oro                1.154,0       683,6     1.054,5     1.010,2       693,3

Resultados exactos sobre las 25 muestras:

μ_x̄ = 1.144,94 = μ                                                      (media de las 25 medias: el promedio de los promedios coincide con la media de la población)
σ_x̄² = 75.296,0                                                         (varianza de las 25 medias, es decir, de la distribución muestral)
σ²/n = 150.591,9 / 2 = 75.296,0                                               (la varianza poblacional entre n: coincide con la anterior)

Los promedios van desde 673,9 hasta 1.614,7, y su dispersión (274,4) es menor que la de los datos individuales (388,1): promediar compensa los valores altos con los bajos. Dos hechos generales:

La media y el error estándar de la media

Si de una población con media μ y desviación estándar σ se toman muestras aleatorias de tamaño n, la distribución muestral de la media x̄ tiene:

μ_x̄ = μ                                                          (la media de las medias muestrales es la media de la población)
σ_x̄ = σ / √n                                                     (error estándar de la media: la desviación de la distribución muestral)

El error estándar es la desviación estándar de la distribución muestral de una estadística. Cuanto mayor es n, menor es: pero lo hace con la raíz de n. Para dividir el error entre 2 hay que cuadruplicar la muestra:

Tamaño n      Error estándar σ/√n     Comentario
     1              3,6908         una sola observación: la dispersión de la población
     4              1,8454         mitad del error de n = 1
     9              1,2303         un tercio
    25              0,7382         un quinto
   100              0,3691         una décima parte

La media de la muestra es un estimador insesgado: en promedio acierta. Y es más preciso cuanto más grande la muestra. Con n = 12: σ_x̄ = 3,6908 / √12 = 1,0654.

Población finita. Si el muestreo es sin reemplazo y la muestra es más del 5% de la población (n/N mayor que 0,05), el error estándar se reduce con el factor de corrección por población finita:

σ_x̄ = σ/√n × √((N − n)/(N − 1))                                  (error estándar con corrección por población finita)
σ_x̄² = 150.591,9 / 2 × (5 − 2)/(5 − 1) = 56.472,0                    (con las 10 muestras de 2 sin reemplazo, coincide con la varianza de sus medias)

En el ejemplo de los 77 meses, una muestra de 12 es el 15,6% de la población: el factor es √(65/76) = 0,9248, y el error estándar pasa de 1,0654 a 0,9853.

Preguntas para pensar

• Una encuesta nacional con 2.000 personas y una de una ciudad pequeña con 2.000 personas, ¿tienen el mismo error estándar si la desviación de la variable es igual? ¿Cuándo importaría el factor de corrección?
• El error estándar baja con la raíz de n: dos veces más precisión cuestan cuatro veces más datos. ¿Qué implica eso para decidir el tamaño de una muestra con presupuesto limitado?