B.8 Aproximación normal a la binomial

Una auditoría de 100 declaraciones: ¿cuántas tendrán observaciones?

Con cifras ilustrativas: en una auditoría de 100 declaraciones juradas, cada una tiene probabilidad 0,30 de presentar observaciones, con independencia entre declaraciones. El número X de declaraciones con observaciones es binomial con n = 100 y p = 0,30. ¿Cuál es la probabilidad de que sean 35 o menos?

Con la fórmula binomial habría que sumar 36 términos (de X = 0 a X = 35), cada uno con combinaciones de 100 elementos: un cálculo enorme a mano. Cuando n es grande, la distribución binomial se parece mucho a una campana, y la normal permite resolverlo con una sola puntuación z. Este tema muestra cómo, con qué condiciones y con qué corrección.

88,39%

es la probabilidad exacta (binomial) de que 35 o menos de las 100 declaraciones tengan observaciones, con p = 0,30; la aproximación normal da 88,50% (cifras ilustrativas).

Fuente: Cálculo propio con supuestos ilustrativos.

La idea y la condición de aplicación

Si X es binomial con n ensayos y probabilidad de éxito p, su esperanza es μ = np y su varianza σ² = npq (con q = 1 − p), como se vio en el tema B.2. Cuando n es grande, la distribución de X se aproxima mucho a la normal con esas mismas media y desviación estándar:

X ≈ N(μ, σ),  con μ = n × p  y  σ = √(n × p × q)                   (la normal con la media y la desviación de la binomial)
μ = 100 × 0,30 = 30,0                                            (declaraciones con observaciones, en promedio)
σ = √(100 × 0,30 × 0,70) = √21,0 = 4,5826                    (desviación estándar)

La aproximación es buena siempre y cuando np y nq sean de al menos cinco (algunos textos exigen 10). Aquí np = 30 y nq = 70: se cumple con holgura. Si p es muy pequeño o muy grande, o n es chico, la binomial es muy asimétrica y la campana no la describe bien.

La corrección por continuidad, paso a paso

La binomial es discreta (X toma valores enteros), pero la normal es continua. Para compensar, cada entero x se representa en la normal por el intervalo de x − 0,5 a x + 0,5: el entero 35 ocupa el tramo de 34,5 a 35,5. Es la corrección por continuidad.

P(X ≤ 35) → P(X ≤ 35,5)                                           (incluir el 35 completo: se llega hasta su borde superior)
P(X < 35) → P(X ≤ 34,5)                                           (no incluir el 35: se llega hasta su borde inferior)
P(X ≥ 40) → P(X ≥ 39,5)                                           (incluir el 40 completo: se parte de su borde inferior)
P(X = 30) → P(29,5 ≤ X ≤ 30,5)                                    (un entero es el intervalo de ancho 1 centrado en él)

Ejemplo: P(X ≤ 35).

z = (35,5 − 30) / 4,5826 = 1,2002                              (se estandariza el borde corregido)
P(X ≤ 35) ≈ P(Z ≤ 1,20) = 0,8850                      (valor de la tabla de la normal estándar)

El valor exacto de la binomial es 0,8839. Sin la corrección (z = (35 − 30)/4,5826 = 1,0911) la normal daría 0,8624: un error mucho mayor. Comparación de varios casos:

Probabilidad pedida         Exacta (binomial)     Normal sin corrección     Normal con corrección
P(X ≤ 35)                          0,8839                  0,8624                  0,8850
P(X = 30)                          0,0868                 —                          0,0869
P(25 ≤ X ≤ 35)                     0,7704                 —                          0,7699
P(X ≥ 40)                          0,0210                 —                          0,0191

Preguntas para pensar

• La binomial exacta de P(X ≤ 35) y la aproximada difieren en la cuarta cifra. ¿Cuándo importaría esa diferencia en una decisión económica real? ¿Qué cambió con los programas de computación respecto de la época en que se inventó esta aproximación?
• Si se aproxima P(X = 30) con la normal sin corrección por continuidad, el área de un solo punto es cero. ¿Qué enseña eso sobre la necesidad de la corrección?