B.7 La normal estándar: estandarización y uso de la tabla Z

¿Qué tan alto es un precio de USD 2.500 el oro en 2024? ¿Y cómo se compara con un precio de la plata?

En 2024 el precio mensual del oro tuvo una media de USD 2.387,21 y una desviación estándar de USD 229,60. Un precio de USD 2.500 está por encima de la media, pero ¿cuánto? Y el precio máximo del oro (2.689) frente al máximo de la plata en el mismo año (USD 32,41, con media de 28,23 y desviación de 3,196), ¿cuál fue relativamente más extremo? Comparar dólares con dólares no sirve: son escalas distintas.

La solución es medir cada valor en desviaciones estándar respecto de su propia media, es decir, estandarizarlo. Con esa puntuación, una sola tabla (la de la normal estándar) responde cualquier pregunta de probabilidad sobre cualquier variable normal.

1,315 y 1,309

son las puntuaciones z del precio máximo del oro y del de la plata en 2024: a una distancia casi idéntica de sus promedios, medida en desviaciones estándar.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales de oro y plata de 2024; cálculo propio.

Estandarizar: la puntuación z

La puntuación z de un valor x de una variable con media μ y desviación estándar σ indica a cuántas desviaciones estándar está x de la media:

z = (x − μ) / σ                                                   (distancia a la media, en unidades de desviación estándar)
z = (2.500 − 2.387,21) / 229,60 = 0,4912                         (el precio de USD 2.500 está a 0,49 desviaciones por encima de la media)
z_o = (2.689,13 − 2.387,21) / 229,60 = 1,315                  (precio máximo del oro, con z_o su puntuación)
z_p = (32,41 − 28,226) / 3,196 = 1,309                    (precio máximo de la plata, con z_p su puntuación)

Los dos máximos están a casi la misma distancia relativa de sus medias (1,315 y 1,309 desviaciones): fueron igual de extremos. Si X es normal con media μ y desviación σ, entonces Z = (X − μ)/σ es normal con media 0 y desviación estándar 1: la distribución normal estándar. Todos los intervalos que contienen el mismo número de desviaciones a partir de la media contienen la misma fracción del área total, y eso permite usar una sola tabla para todas las distribuciones normales. La puntuación z de un valor puede ser negativa (por debajo de la media) o positiva.

Cómo se usa la tabla de la normal estándar

La tabla da el área acumulada P(Z ≤ z). Se lee así: las filas dan la parte entera y el primer decimal de z, y las columnas el segundo decimal. Por ejemplo, para z = 0,49 se busca la fila 0,4 y la columna 0,09:

z    .00    .01    .02    .03    .04    .05    .06    .07    .08    .09
 0,0  0,5000  0,5040  0,5080  0,5120  0,5160  0,5199  0,5239  0,5279  0,5319  0,5359
 0,1  0,5398  0,5438  0,5478  0,5517  0,5557  0,5596  0,5636  0,5675  0,5714  0,5753
 0,2  0,5793  0,5832  0,5871  0,5910  0,5948  0,5987  0,6026  0,6064  0,6103  0,6141
 0,3  0,6179  0,6217  0,6255  0,6293  0,6331  0,6368  0,6406  0,6443  0,6480  0,6517
 0,4  0,6554  0,6591  0,6628  0,6664  0,6700  0,6736  0,6772  0,6808  0,6844  0,6879
 0,5  0,6915  0,6950  0,6985  0,7019  0,7054  0,7088  0,7123  0,7157  0,7190  0,7224
 0,6  0,7257  0,7291  0,7324  0,7357  0,7389  0,7422  0,7454  0,7486  0,7517  0,7549
 0,7  0,7580  0,7611  0,7642  0,7673  0,7704  0,7734  0,7764  0,7794  0,7823  0,7852
 0,8  0,7881  0,7910  0,7939  0,7967  0,7995  0,8023  0,8051  0,8078  0,8106  0,8133
 0,9  0,8159  0,8186  0,8212  0,8238  0,8264  0,8289  0,8315  0,8340  0,8365  0,8389
 1.0  0,8413  0,8438  0,8461  0,8485  0,8508  0,8531  0,8554  0,8577  0,8599  0,8621
 1.1  0,8643  0,8665  0,8686  0,8708  0,8729  0,8749  0,8770  0,8790  0,8810  0,8830
 1.2  0,8849  0,8869  0,8888  0,8907  0,8925  0,8944  0,8962  0,8980  0,8997  0,9015
 1.3  0,9032  0,9049  0,9066  0,9082  0,9099  0,9115  0,9131  0,9147  0,9162  0,9177
 1.4  0,9192  0,9207  0,9222  0,9236  0,9251  0,9265  0,9279  0,9292  0,9306  0,9319
 1.5  0,9332  0,9345  0,9357  0,9370  0,9382  0,9394  0,9406  0,9418  0,9429  0,9441
 1.6  0,9452  0,9463  0,9474  0,9484  0,9495  0,9505  0,9515  0,9525  0,9535  0,9545
 1.7  0,9554  0,9564  0,9573  0,9582  0,9591  0,9599  0,9608  0,9616  0,9625  0,9633
 1.8  0,9641  0,9649  0,9656  0,9664  0,9671  0,9678  0,9686  0,9693  0,9699  0,9706
 1.9  0,9713  0,9719  0,9726  0,9732  0,9738  0,9744  0,9750  0,9756  0,9761  0,9767
 2.0  0,9772  0,9778  0,9783  0,9788  0,9793  0,9798  0,9803  0,9808  0,9812  0,9817
 2.1  0,9821  0,9826  0,9830  0,9834  0,9838  0,9842  0,9846  0,9850  0,9854  0,9857
 2.2  0,9861  0,9864  0,9868  0,9871  0,9875  0,9878  0,9881  0,9884  0,9887  0,9890
 2.3  0,9893  0,9896  0,9898  0,9901  0,9904  0,9906  0,9909  0,9911  0,9913  0,9916
 2.4  0,9918  0,9920  0,9922  0,9925  0,9927  0,9929  0,9931  0,9932  0,9934  0,9936
 2.5  0,9938  0,9940  0,9941  0,9943  0,9945  0,9946  0,9948  0,9949  0,9951  0,9952
 2.6  0,9953  0,9955  0,9956  0,9957  0,9959  0,9960  0,9961  0,9962  0,9963  0,9964
 2.7  0,9965  0,9966  0,9967  0,9968  0,9969  0,9970  0,9971  0,9972  0,9973  0,9974
 2.8  0,9974  0,9975  0,9976  0,9977  0,9977  0,9978  0,9979  0,9979  0,9980  0,9981
 2.9  0,9981  0,9982  0,9982  0,9983  0,9984  0,9984  0,9985  0,9985  0,9986  0,9986
 3.0  0,9987  0,9987  0,9987  0,9988  0,9988  0,9989  0,9989  0,9989  0,9990  0,9990
 3.1  0,9990  0,9991  0,9991  0,9991  0,9992  0,9992  0,9992  0,9992  0,9993  0,9993
 3.2  0,9993  0,9993  0,9994  0,9994  0,9994  0,9994  0,9994  0,9995  0,9995  0,9995
 3.3  0,9995  0,9995  0,9995  0,9996  0,9996  0,9996  0,9996  0,9996  0,9996  0,9997
 3.4  0,9997  0,9997  0,9997  0,9997  0,9997  0,9997  0,9997  0,9997  0,9997  0,9998

Ahí: P(Z ≤ 0,49) = 0,6879. Con la tabla se resuelven todos los casos, con estas tres ideas:

- Cola derecha: P(Z > z) = 1 − P(Z ≤ z). Por ejemplo, P(Z > 0,49) = 1 − 0,6879 = 0,3121.
- Valores negativos, por simetría: P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z). La tabla de arriba solo muestra z positivos: P(Z ≤ −1,25) = 1 − P(Z ≤ 1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056.
- Intervalo: P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a).

Los pasos para resolver cualquier problema normal

1. Dibujar la curva y sombrear la región pedida. 2. Estandarizar los valores con z = (x − μ)/σ. 3. Leer la tabla. 4. Ajustar con las reglas de arriba (complemento, simetría, resta). 5. Interpretar en las unidades del problema.

Ejemplo 1. ¿Probabilidad de que el precio del oro supere USD 2.500?

z = 0,49                                                        (puntuación z redondeada a dos decimales)
P(X > 2.500) = 1 − P(Z ≤ 0,49) = 1 − 0,6879 = 0,3121          (cola derecha)

Con un valor más exacto de z (0,4912) sale 0,3116: la diferencia viene del redondeo de z. Aproximadamente, 3 de cada 10 meses superarían ese precio.

Ejemplo 2. ¿Probabilidad de que el precio esté entre USD 2.200 y USD 2.600?

z₁ = (2.200 − 2.387,21) / 229,60 = −0,82                              (extremo inferior estandarizado)
z₂ = (2.600 − 2.387,21) / 229,60 = 0,93                               (extremo superior estandarizado)
P(2.200 ≤ X ≤ 2.600) = P(Z ≤ 0,93) − P(Z ≤ −0,82) = 0,8238 − 0,2061 = 0,6177   (resta de áreas acumuladas)

Ejemplo 3. Problema inverso: ¿qué precio deja el 90% de los meses por debajo? Se busca en el cuerpo de la tabla el área 0,90 y se lee el z correspondiente (el más cercano es z = 1,28; con más decimales, 1,2816); luego se despeja x:

x = μ + z × σ                                                     (se deshace la estandarización)
x = 2.387,21 + 1,28 × 229,60 = 2.681,10                    (el percentil 90 del precio, en USD por onza)

Preguntas para pensar

• Un estudiante calcula P(X > 2.500) y obtiene 0,69. ¿Qué error probable cometió y cómo lo detectarías sin repetir la cuenta?
• La estandarización elimina las unidades. ¿Qué ventaja y qué riesgo hay en comparar puntuaciones z de variables distintas, como el oro y la plata?