B.6 La distribución normal y la regla empírica

¿Qué tan raro es que el oro suba más de 6% en un mes?

El precio del oro cambia cada mes. Con los precios mensuales del FMI entre enero de 2020 y junio de 2026 se pueden calcular 77 variaciones porcentuales mensuales: su promedio es 1,37% y su desviación estándar 3,71%. La mayor fue de 10,60% (en 2025-10). ¿Es un salto extraordinario o es lo que se espera de vez en cuando?

Para decirlo hace falta un modelo de cómo se reparten las variaciones. El más usado en estadística es la distribución normal, la curva en forma de campana. Con ella, una sola cuenta (cuántas desviaciones estándar se aleja el valor de la media) responde la pregunta, y la misma cuenta sirve para cualquier variable.

10,6%

fue la mayor variación mensual del precio del oro en 77 meses (de enero de 2020 a junio de 2026), a 2,5 desviaciones estándar de la media.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro; variaciones calculadas.

La curva normal y sus parámetros

La distribución normal es una distribución continua con forma de campana. Sus propiedades:

- Es simétrica respecto de la media μ: la mitad del área está a cada lado.
- La media, la mediana y la moda coinciden en el centro.
- Las dos colas se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal. Ninguna población real es ilimitada en ambas direcciones, pero la normal es una aproximación conveniente.
- No hay una sola curva normal, sino una familia: cada una queda definida por dos parámetros, la media μ (dónde se centra) y la desviación estándar σ (qué tan ancha es). Se escribe X ~ N(μ, σ).

Cambiar μ desplaza la curva sin cambiar su forma; cambiar σ la ensancha (σ grande: más dispersión, curva más baja) o la estrecha (σ pequeño: curva alta y angosta). El área total es siempre 1.

La regla empírica y qué tan «normales» son los datos reales

En toda distribución normal, sean cuales sean μ y σ:

P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) = 0,6827                                      (aprox. 68%: a una desviación estándar de la media)
P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) = 0,9545                                    (aprox. 95%: a dos desviaciones)
P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) = 0,9973                                    (aprox. 99,7%: a tres desviaciones)

Es la regla empírica (68-95-99,7). Sirve también para revisar si un conjunto de datos se parece a una normal. Con las 77 variaciones mensuales del oro:

Intervalo               Meses dentro      Proporción observada      Normal teórica
m ± 1 s                       54              0,7013              0,6827
m ± 2 s                       73              0,9481              0,9545
m ± 3 s                       77              1,0000              0,9973

Las proporciones observadas se acercan a las teóricas, lo que apoya el uso de la normal como modelo de esas variaciones (con una asimetría de 0,27, moderada). Un valor a más de 3 desviaciones sería muy raro bajo la normal.

Cuidado: la normalidad no es una propiedad de cualquier serie. El nivel del precio del oro, con una tendencia creciente en 2020-2026, no tiene forma de campana (los precios altos se concentran al final); sí se aproxima a una campana la variación mensual. Antes de usar la normal hay que mirar los datos (histograma, regla empírica) y justificar el supuesto.

Preguntas para pensar

• La normal se usa como modelo de variaciones de precios, de errores de medición y de estaturas. ¿Qué tienen en común esos fenómenos que justifique una campana? ¿Y qué fenómenos económicos no la cumplirían (por ejemplo, ingresos de los hogares)?
• Un valor a más de tres desviaciones estándar de la media «casi nunca» ocurre bajo la normal. Si ocurre en los datos reales, ¿qué conclusión sacarías: un evento excepcional o un modelo equivocado?