B.5 Variables continuas, densidad y la distribución uniforme

Un precio puede tomar infinitos valores: ¿cuál es la probabilidad de que sea exactamente USD 2.400?

El precio mensual del oro en 2024 estuvo entre USD 2.024 y USD 2.689 por onza. En 5 de los 12 meses estuvo entre USD 2.300 y USD 2.500. Pero ¿qué probabilidad tiene un precio exacto, como USD 2.400,00? Entre dos precios cualquiera hay infinitos valores posibles; la probabilidad de cada uno por separado es cero.

En una variable continua no se asignan probabilidades a valores, sino a intervalos: la probabilidad de que el precio esté entre USD 2.300 y USD 2.500 es el área bajo una curva (la curva de densidad) entre esos dos valores. Este tema introduce esa idea con el modelo más sencillo, la distribución uniforme, y prepara la distribución normal.

5 de 12

meses de 2024 tuvieron un precio del oro entre USD 2.300 y USD 2.500 por onza.

Fuente: FMI, Primary Commodity Price System (PCPS), precios mensuales del oro, 2024; conteo propio.

Variable continua, densidad y área

Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo (un precio, un tiempo, una estatura). Su distribución se describe con una curva de densidad f(x), que cumple dos condiciones: f(x) ≥ 0 en todo punto y el área total bajo la curva es exactamente 1. Debido a que el área total es 1, existe una correspondencia entre área y probabilidad:

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x) dx                                (la probabilidad de un intervalo es el área bajo f(x) entre a y b)
P(X = a) = 0                                                      (un punto no tiene área)
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b)                                       (los extremos no importan en una variable continua)

Es una diferencia decisiva con las variables discretas, donde P(X ≤ 3) y P(X < 3) son distintas. Aquí da lo mismo incluir o no los extremos. La función de distribución acumulada F(x) = P(X ≤ x) es el área acumulada desde la izquierda hasta x, y una probabilidad de intervalo es una resta: P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a).

El modelo más sencillo: la distribución uniforme

Una variable continua tiene distribución uniforme entre a y b si sus valores se distribuyen equitativamente en ese rango: la curva de densidad es una recta horizontal, un rectángulo de ancho b − a, y para que el área sea 1 la altura debe ser 1/(b − a).

Con cifras ilustrativas: el tiempo de espera en una ventanilla (en minutos) está uniformemente distribuido entre 0 y 10.

f(x) = 1 / (b − a) = 1 / 10 = 0,1                                 (altura del rectángulo, entre 0 y 10)
P(2 ≤ X ≤ 5) = h × w = 0,1 × 3 = 0,3                              (área del rectángulo entre 2 y 5, con h la altura y w el ancho)
P(X ≥ 7) = 0,1 × 3 = 0,3                                          (área del rectángulo entre 7 y 10)
P(X ≤ 4) = 0,1 × 4 = 0,4                                          (es F(4), el área acumulada desde 0 hasta 4)

En general, P(c ≤ X ≤ d) = (d − c)/(b − a) para c y d dentro del rango. Los percentiles se obtienen al revés: el tiempo que deja el 90% de las esperas por debajo es 0,1 × x = 0,9, o sea x = 9 minutos.

Esperanza y varianza. Por la simetría del rectángulo, la esperanza es el punto medio, y la varianza tiene una fórmula cerrada:

μ = (a + b) / 2 = (0 + 10) / 2 = 5,0                          (el centro del rango)
σ² = (b − a)² / 12 = 10² / 12 = 8,3333                         (varianza de la uniforme)
σ = √8,3333 = 2,8868                                         (desviación estándar, en minutos)

Preguntas para pensar

• Si un precio es una variable continua, ¿por qué los informes dan probabilidades de intervalos («entre USD 2.300 y 2.500») y no de precios exactos? ¿Qué pasa con los datos reales, que se redondean a dos decimales?
• La distribución uniforme supone que todos los valores del rango son igualmente probables. ¿En qué fenómenos económicos es razonable esa hipótesis y en cuáles claramente no?