B.4 La distribución de Poisson

Una oficina recibe en promedio 4 reclamos por hora: ¿cuál es la probabilidad de pasar una hora sin ninguno?

Con cifras ilustrativas: una oficina de atención al cliente recibe en promedio 4 reclamos por hora. El número exacto de reclamos en una hora cualquiera es una variable aleatoria que toma valores 0, 1, 2, 3… sin tope fijo. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora no llegue ninguno? ¿Y de que lleguen 7 o más (un exceso que satura a los empleados)?

No se trata de n ensayos con éxito o fracaso (como en la binomial), sino de contar ocurrencias de un suceso en un intervalo continuo (de tiempo, de espacio): llamadas por hora, accidentes por mes, defectos por metro de tela. El modelo para ese conteo es la distribución de Poisson, que depende de un único parámetro: el promedio λ por intervalo.

1,83%

es la probabilidad de que no llegue ningún reclamo en una hora, con una media de 4 por hora (cifras ilustrativas; modelo de Poisson con λ = 4).

Fuente: Cálculo propio con supuestos ilustrativos.

Cuándo una variable es de Poisson

La distribución de Poisson se usa para describir procesos como las llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, las solicitudes de servicio en un centro de salud, las llegadas de vehículos a una caseta de cobro o el número de accidentes en una intersección. Tienen en común que se describen con una variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2, …) y que cumplen:

- Hay un promedio λ de ocurrencias por intervalo, que se puede estimar con datos.
- Dividido el intervalo en tramos muy pequeños, la probabilidad de una ocurrencia en cada tramo es pequeña y constante.
- La probabilidad de que ocurran dos o más en un mismo tramo es tan pequeña que se toma como cero: las ocurrencias llegan de una en una.
- El número de ocurrencias en un intervalo es independiente del que haya en cualquier otro intervalo.

Si los sucesos llegan en rachas (clientes que llegan en grupo, accidentes encadenados) o si la tasa cambia con la hora del día, el modelo de Poisson falla.

La fórmula y sus partes

La probabilidad de exactamente x ocurrencias en un intervalo con media λ es

P(X = x) = λ^x × e^(−λ) / x!                                    (e = 2,71828, base de los logaritmos naturales)
P(X = 0) = 4^0 × e^(−4) / 0! = e^(−4) = 0,0183                    (ningún reclamo en una hora)
P(X = 2) = 4² × e^(−4) / 2! = 16 × 0,01832 / 2 = 0,1465        (dos reclamos)
P(X = 6) = 4^6 × e^(−4) / 6! = 4096 × 0,01832 / 720 = 0,1042   (seis reclamos)

La probabilidad de 7 o más se obtiene por el complemento: P(X ≥ 7) = 1 − P(X ≤ 6) = 1 − 0,8893 = 0,1107.

k     P(X = k)     P(X ≤ k)
0       0,0183       0,0183
1       0,0733       0,0916
2       0,1465       0,2381
3       0,1954       0,4335
4       0,1954       0,6288
5       0,1563       0,7851
6       0,1042       0,8893
7       0,0595       0,9489
8       0,0298       0,9786
9       0,0132       0,9919
10      0,0053       0,9972

Escalar el intervalo. λ es siempre el promedio del intervalo que se está considerando. Si la media es 4 por hora, en 2 horas es λ = 8 y la probabilidad de no tener ningún reclamo es P(X = 0) = e^(−8) = 0,00034: mucho menor que en una hora. Con la unidad en minutos, λ = 4/60 por minuto: lo importante es usar un λ coherente con el intervalo de la pregunta.

Esperanza, varianza y la aproximación a la binomial

En la distribución de Poisson, la esperanza y la varianza son iguales a λ:

μ = λ = 4                                                       (reclamos promedio por hora)
σ² = λ = 4                                                      (la varianza coincide con la media)
σ = √4 = 2                                                      (desviación estándar)

Esa igualdad es una prueba práctica del modelo: si en los datos la varianza es mucho mayor que la media (sobredispersión), el proceso no es de Poisson (suele indicar llegadas en rachas).

La Poisson aparece también como límite de una binomial cuando n es grande y p es pequeño, con λ = n·p. Por ejemplo, con n = 200 piezas y probabilidad de defecto p = 0,01, λ = 200 × 0,01 = 2, y las dos distribuciones casi coinciden:

k     Binomial(200; 0,01)     Poisson(2)     Diferencia
0          0,13398         0,13534       −0,00136
1          0,27067         0,27067       −0,00000
2          0,27203         0,27067        0,00136
3          0,18136         0,18045        0,00091
4          0,09022         0,09022       −0,00000
5          0,03572         0,03609       −0,00037

La aproximación sirve cuando n es grande (de 20 en adelante) y p es pequeño (menor que 0,05, aproximadamente): evita calcular combinaciones enormes.

Preguntas para pensar

• Un cajero automático registra en promedio 3 fallas por semana. ¿Qué supuestos del modelo de Poisson podrían fallar en la realidad (por ejemplo, fallas encadenadas por un corte de energía)? ¿Qué efecto tendría en las probabilidades?
• Si en los datos de conteos se observa media 5 y varianza 12, ¿qué sospecharías del proceso? ¿Qué tipo de situaciones económicas generan ese patrón?