B.3 La distribución hipergeométrica

Una auditoría revisa 5 de los 35 registros de exportaciones: ¿cuántos serán de minerales?

La serie de exportaciones del INE con la que se trabaja tiene 35 registros producto-año (21 de minerales y 14 de otros productos). Un auditor revisa una muestra de 5 registros elegidos al azar, sin repetir ninguno. ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 3 de los 5 sean de minerales? ¿Y de que sean 4 o más?

Parece un caso binomial (éxito: «es de mineral»), pero no lo es: al sacar un registro y no devolverlo, la composición de los que quedan cambia, y la probabilidad de éxito deja de ser la misma en cada extracción. Los ensayos no son independientes. Para muestreo sin reemplazo de una población finita con dos tipos de elementos se usa la distribución hipergeométrica.

37,3%

es la probabilidad de que exactamente 3 de los 5 registros de la muestra sean de minerales (N = 35, K = 21, n = 5).

Fuente: INE, valor de las exportaciones por producto (con elaboración del BCB y YPFB), 2019-2025; clasificación y cálculo propios.

Cuándo usar la hipergeométrica

Se usa cuando se cumplen estas condiciones:

- Hay una población finita de N elementos, de los cuales K son «éxitos» y N − K son «fracasos».
- Se extrae una muestra de n elementos sin reemplazo.
- Interesa X, el número de éxitos en la muestra.

Si se toman muestras de una población finita pequeña sin reemplazo, la distribución binomial no debe usarse, porque los eventos no son independientes. Si el muestreo es sin reemplazo y los resultados son de uno de dos tipos, se puede usar la hipergeométrica. Es la distribución del control de calidad por muestreo de lotes, de las auditorías por muestreo y de los sorteos.

La fórmula: es el conteo de los temas A.2 y A.3

Para que haya exactamente k éxitos en la muestra hay que elegir k de los K éxitos y n − k de los N − K fracasos. Entre todas las muestras posibles, C(N, n), esas son las favorables. Es la definición clásica de probabilidad con combinaciones:

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n)                  (muestras favorables entre muestras posibles)

Con N = 35, K = 21, n = 5 y k = 3:

C(21, 3) = 21 × 20 × 19 / 6 = 1.330                              (formas de elegir 3 registros de minerales)
C(14, 2) = 14 × 13 / 2 = 91                                      (formas de elegir los 2 restantes entre los 14 que no son minerales)
C(35, 5) = 35 × 34 × 33 × 32 × 31 / 120 = 324.632                (todas las muestras de 5 registros)
P(X = 3) = 1.330 × 91 / 324.632 = 0,3728                        (resultado)

Verificación con el caso del tema B.1 (N = 5, K = 3, n = 2): P(X = 2) = C(3,2) × C(2,0) / C(5,2) = 3 × 1 / 10 = 0,3: es el mismo cálculo. Para P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0,2581 + 0,0627 = 0,3208.

Esperanza, varianza y la corrección por población finita

μ = n × K/N = 5 × 21/35 = 3,00                                   (esperanza: igual que la binomial con p = K/N)
σ² = n × (K/N) × (1 − K/N) × (N − n)/(N − 1)                   (varianza de la hipergeométrica)
σ² = 5 × 0,6 × 0,4 × 30/34 = 1,0588                            (resultado)
FCP = (N − n)/(N − 1) = 30/34 = 0,8824                         (factor de corrección por población finita)

La esperanza coincide con la de una binomial con p = K/N = 0,6, pero la varianza es menor: la binomial daría 5 × 0,6 × 0,4 = 1,20, y la hipergeométrica la multiplica por el factor de corrección (0,8824). Menos variabilidad porque, sin reemplazo, cada extracción da información sobre las que quedan: la muestra se parece más a la población.

Cuando la muestra es muy pequeña frente a la población (regla práctica: n/N menor que 0,05), el factor está cerca de 1 y la binomial con p = K/N es una buena aproximación. Aquí n/N = 5/35 ≈ 0,14: la diferencia se nota, como muestra la comparación:

k     Hipergeométrica     Binomial (con reemplazo)     Diferencia
0           0,0062                 0,0102          −0,0041
1           0,0648                 0,0768          −0,0120
2           0,2355                 0,2304           0,0051
3           0,3728                 0,3456           0,0272
4           0,2581                 0,2592          −0,0011
5           0,0627                 0,0778          −0,0151

Preguntas para pensar

• Un lote tiene 1.000 piezas y se revisan 10. ¿Importa mucho usar la hipergeométrica en lugar de la binomial? ¿Y si el lote tuviera 30 piezas?
• ¿Qué ocurre con la fórmula de la hipergeométrica si n = N (se revisa toda la población)? ¿Qué debería pasar con la varianza?