B.2 La distribución binomial

En los próximos 12 meses, ¿cuántos serán de inflación alta?

Entre enero de 2023 y diciembre de 2025, 6 de los 36 meses tuvieron una variación mensual del IPC de 1,5% o más (inflación Alta, ver tema A.4): una frecuencia relativa de 1/6 ≈ 0,1667. Si se acepta, como modelo, que cada mes tiene esa probabilidad de ser de inflación Alta y que los meses no se influyen entre sí, el número de meses de inflación Alta en un año sigue una distribución binomial.

Con ella se puede responder: ¿cuál es la probabilidad de que ningún mes sea de inflación Alta? ¿Y de que haya tres o más? El modelo tiene un punto débil que conviene discutir: la inflación es persistente (los meses altos de 2025 vinieron seguidos), de modo que la hipótesis de independencia es discutible. La binomial es un punto de partida, no la verdad.

11,2%

es la probabilidad de que ninguno de los 12 meses sea de inflación Alta, bajo el modelo binomial con n = 12 y p = 1/6 (supuesto de independencia entre meses).

Fuente: INE, IPC general mensual, base 2016=100, 2023-2025; cálculo propio con un modelo binomial.

Cuándo una variable es binomial

La distribución binomial describe el número de éxitos en n repeticiones de un experimento de dos resultados (éxito o fracaso), cuando se cumplen estas condiciones —las de un proceso de Bernoulli—:

- El número de ensayos n es fijo (12 meses).
- Cada ensayo tiene solo dos resultados: éxito (inflación Alta) o fracaso (no Alta).
- La probabilidad de éxito p es la misma en todos los ensayos (1/6).
- Los ensayos son independientes: el resultado de uno no afecta al de otro.

El lanzamiento de una moneda un número fijo de veces es un proceso de Bernoulli, y sus resultados se representan con la distribución binomial. Pero hay una advertencia sobre la segunda condición: se podría describir el resultado de un examen como de Bernoulli solo si hay certeza de que la fracción de los que aprueban permanece constante en el tiempo. En la práctica, verificar los supuestos es parte del cálculo: si no se cumplen, la binomial da números precisos pero engañosos.

La fórmula, construida paso a paso

Primero con n = 4 ensayos y probabilidad de éxito p, ¿cuántas secuencias tienen exactamente 2 éxitos? Son las que se forman eligiendo cuáles 2 de los 4 ensayos son éxitos: C(4,2) = 6 (EEFF, EFEF, EFFE, FEEF, FEFE, FFEE). Cada una tiene probabilidad p × p × (1 − p) × (1 − p) = p²(1 − p)², por independencia. Como son excluyentes se suman:

P(X = 2) = C(4, 2) × p² × (1 − p)²                              (son 6 secuencias, cada una con probabilidad p²(1 − p)²)
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k)                      (caso general: k éxitos entre n ensayos)

Con n = 12, p = 1/6 (q = 1 − p = 5/6):

C(12, 2) = 12! / (2! × 10!) = 12 × 11 / 2 = 66                  (formas de ubicar los 2 meses de inflación Alta)
p² = (1/6)² = 0,027778                                           (probabilidad de dos éxitos)
q^10 = (5/6)^10 = 0,161506                                      (probabilidad de diez fracasos)
P(X = 2) = 66 × 0,027778 × 0,161506 = 0,2961                (resultado)
P(X = 0) = q^12 = (5/6)^12 = 0,1122                              (ningún mes de inflación Alta)

Las probabilidades acumuladas se obtienen sumando. Por el complemento: P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) ≈ 1 − (0,1122 + 0,2692 + 0,2961) = 0,3226.

k     P(X = k)     P(X ≤ k)
0       0,1122       0,1122
1       0,2692       0,3813
2       0,2961       0,6774
3       0,1974       0,8748
4       0,0888       0,9636
5       0,0284       0,9921
6       0,0066       0,9987
7       0,0011       0,9998
8       0,0001       1,0000

Esperanza y varianza de la binomial

X es la suma de n variables de Bernoulli (cada una vale 1 si hay éxito y 0 si no). Cada una tiene esperanza p y varianza p(1 − p); por independencia, las varianzas también se suman:

μ = n × p = 12 × 1/6 = 2,00                                   (se espera, en promedio, 2 meses de inflación Alta por año)
σ² = n × p × (1 − p) = 12 × 1/6 × 5/6 = 1,6667                (varianza del número de meses)
σ = √1,6667 = 1,2910                                         (desviación estándar)

La esperanza np es el número promedio de éxitos a largo plazo. Conviene notar que la distribución es asimétrica cuando p está lejos de 0,5, y se vuelve simétrica y acampanada cuando n crece: es la idea de la aproximación normal que se ve más adelante en esta sección.

Preguntas para pensar

• Con los datos de 2023-2025 la inflación Alta se concentró en 2025. ¿Cómo cambiaría la estimación de p si se usara solo el último año? ¿Qué se pierde y qué se gana con eso?
• El modelo binomial da P(X = 0) = 11%. Si la inflación real fuera persistente, ¿esa probabilidad sería mayor o menor que la real? Razona con la independencia.