B.1 Variable aleatoria discreta: distribución, esperanza y varianza

Se eligen dos productos de exportación al azar: ¿cuántos serán minerales?

Entre los cinco productos de la serie de exportaciones del INE (gas natural, soya, zinc, plata y oro), tres son minerales. Si se eligen dos al azar, sin reemplazo, el número de minerales que aparece puede ser 0, 1 o 2, y no se sabe cuál saldrá de antemano: es una variable aleatoria. Lo que sí se sabe es con qué probabilidad sale cada valor (se calculó con combinaciones en el tema A.2), y con esa información se puede responder cuántos minerales se espera en promedio y cuánto varía ese número de una elección a otra.

Ese es el trabajo de una distribución de probabilidad: dar, para cada valor posible de la variable, su probabilidad; y de sus dos resúmenes básicos, la esperanza (el valor promedio a largo plazo) y la varianza (cuánto se aleja de ese promedio).

1,2 minerales

es el número esperado de minerales cuando se eligen 2 de los 5 productos al azar, sin reemplazo.

Fuente: Cálculo propio sobre los cinco productos de la serie de exportaciones del INE, con elaboración del BCB.

Variable aleatoria y distribución de probabilidad

Una variable aleatoria es una magnitud que cambia de una ocurrencia a otra sin seguir una secuencia predecible. Se escribe con mayúscula (X) y sus valores con minúscula (x). Es discreta si solo puede tomar valores aislados que se pueden contar (0, 1, 2, …) y continua si puede tomar cualquier valor de un intervalo.

Sea X = «número de minerales entre los dos productos elegidos». Sus valores son 0, 1 y 2. Por conteo (tema A.2), con C(5,2) = 10 parejas posibles:

p(0) = C(2,2) / 10 = 1/10 = 0,1                       (los dos productos no minerales: 1 pareja)
p(1) = C(3,1) × C(2,1) / 10 = 6/10 = 0,6              (un mineral y un no mineral: 3 × 2 parejas)
p(2) = C(3,2) / 10 = 3/10 = 0,3                       (dos minerales: 3 parejas)

La función p(x) = P(X = x) es la función de probabilidad. Cumple dos condiciones: toda p(x) ≥ 0 y la suma de todas es 1 (0,1 + 0,6 + 0,3 = 1). La función de distribución acumulada F(x) = P(X ≤ x) va sumando: F(0) = 0,1; F(1) = 0,7; F(2) = 1. Por ejemplo, P(X ≥ 1) = 1 − F(0) = 0,9.

Esperanza y varianza, paso a paso

La esperanza (o valor esperado) μ = E(X) es el promedio de los valores ponderado por sus probabilidades: se multiplica cada valor por su probabilidad y se suman los productos. Es el promedio que se obtendría a largo plazo, repitiendo el experimento muchas veces; no tiene por qué ser un valor posible.

μ = Σ x·p(x)                                                   (suma de cada valor por su probabilidad)
μ = 0 × 0,1 + 1 × 0,6 + 2 × 0,3 = 1,2                          (esperanza: 1,2 minerales por pareja)

La varianza σ² = Var(X) es el promedio ponderado de los cuadrados de las desviaciones respecto de μ, y la desviación estándar σ es su raíz:

x     p(x)     x·p(x)     (x − μ)²     (x − μ)²·p(x)
0      0,1       0,00         1,44          0,144
1      0,6       0,60         0,04          0,024
2      0,3       0,60         0,64          0,192
Suma   1,0       1,20                        0,36

σ² = Σ (x − μ)²·p(x) = 0,36                                     (suma de la última columna)
σ = √0,36 = 0,60                                              (desviación estándar, en minerales)
σ² = E(X²) − μ² = 1,8 − 1,44 = 0,36                          (fórmula abreviada: E(X²) = Σ x²·p(x) = 0 + 0,6 + 1,2)

La fórmula abreviada da lo mismo con menos pasos. Transformaciones lineales: si Y = a·X + b, entonces E(Y) = a·E(X) + b y Var(Y) = a²·Var(X) (sumar una constante no cambia la dispersión). Con Y = 3X + 2 (por ejemplo, un costo fijo de 2 más 3 por cada mineral), E(Y) = 3 × 1,2 + 2 = 5,6 y Var(Y) = 9 × 0,36 = 3,24.

La esperanza sirve también para decidir. Con cifras ilustrativas: una inversión de Bs 10.000 gana Bs 2.000 con probabilidad 0,6 y pierde Bs 1.000 con probabilidad 0,4. Ganancia esperada: 0,6 × 2.000 + 0,4 × (−1.000) = 1.200 − 400 = Bs 800. Para obtener el valor esperado de una variable discreta se multiplica cada valor por su probabilidad y se suman los productos; es la herramienta de quien decide en condiciones de incertidumbre, aunque no dice nada sobre el riesgo (la varianza lo mide).

Preguntas para pensar

• Una inversión tiene ganancia esperada de Bs 800 y otra de Bs 700, pero la segunda tiene una desviación estándar mucho menor. ¿Cuál elegirías? ¿Qué más necesitarías saber?
• ¿Puede la esperanza de una variable aleatoria no ser uno de los valores que la variable toma? Pon un ejemplo y explica por qué no hay contradicción.