A.6 Probabilidad total y teorema de Bayes

Un sistema de alerta marca a una empresa como riesgosa: ¿qué tan probable es que realmente incumpla?

Un banco usa un sistema que emite una alerta cuando una empresa podría no pagar un crédito. Con cifras ilustrativas: el 5% de las empresas incumple; el sistema da alerta al 80% de las que incumplen y también al 10% de las que cumplen (falsas alarmas). Una empresa recibe la alerta. ¿Qué probabilidad hay de que realmente incumpla?

La intuición suele responder «80%». La respuesta correcta es 29,6%: menos de una de cada tres de las empresas con alerta incumple. La diferencia viene de que 80% es P(alerta | incumple), y lo que se pregunta es P(incumple | alerta): la condición está invertida. El teorema de Bayes da el camino de uno al otro.

29,6%

es la probabilidad de incumplimiento dada una alerta, con una tasa base de incumplimiento de 5%, sensibilidad de 80% y falsas alarmas de 10% (cifras ilustrativas).

Fuente: Cálculo propio con supuestos ilustrativos.

Probabilidad total: ponderar por los casos posibles

Si los eventos B₁, B₂, …, Bₖ son excluyentes y cubren todo el espacio muestral (una partición), la probabilidad de cualquier evento A se obtiene sumando por casos: ley de la probabilidad total.

P(A) = Σ P(A | B_i) × P(B_i)                                     (suma, sobre los casos, de la condicional por la probabilidad del caso)

Con la tabla de inflación (tema A.4): los tres años forman una partición de los 36 meses, con P(año) = 1/3 cada uno. La probabilidad de un mes de inflación Alta es

P(Alta) = P(Alta | 2023)·P(2023) + P(Alta | 2024)·P(2024) + P(Alta | 2025)·P(2025)     (ley de la probabilidad total)
P(Alta) = 0/12 × 1/3 + 2/12 × 1/3 + 4/12 × 1/3 = 0 + 1/18 + 1/9 = 0,1667                  (suma ponderada)

Y es exactamente el 6/36 de la marginal: la probabilidad total reconstruye la marginal a partir de las condicionales.

El teorema de Bayes: invertir la condición

La regla del producto da P(A ∩ B) = P(A | B) P(B) = P(B | A) P(A). Despejando la condicional que se quiere:

P(B | A) = P(A | B) × P(B) / P(A)                                (teorema de Bayes, con P(A) mayor que 0)
P(B_j | A) = P(A | B_j) P(B_j) / Σ P(A | B_i) P(B_i)               (con partición: el denominador es la probabilidad total de A)

Bayes es un procedimiento formal que permite combinar la teoría de la probabilidad clásica con el mejor juicio de quien decide acerca de lo que es posible que ocurra. P(B) es la probabilidad previa (antes de la información), P(A | B) la verosimilitud del dato y P(B | A) la probabilidad posterior (después de la información). El origen del concepto se atribuye al reverendo Thomas Bayes (1702-1761).

Con la tabla de inflación. Un mes de inflación Alta, ¿de qué año es?

P(2025 | Alta) = P(Alta | 2025) P(2025) / P(Alta)                (aplicando Bayes, con la probabilidad total en el denominador)
P(2025 | Alta) = (4/12 × 1/3) / 0,1667 = 0,1111 / 0,1667 = 0,6667        (resultado: dos de cada tres)

Coincide con el 4/6 que se leyó directamente en la tabla. Bayes es el camino que se usa cuando no se tiene la tabla completa, sino las condicionales y las previas.

El caso del sistema de alerta, con frecuencias naturales y con la fórmula

Hay dos formas de resolverlo.

Con frecuencias naturales (imaginar 10.000 empresas; I = incumple, A = alerta, C = cumple):

n_I = 10.000 × 5% = 500                                                     (empresas que incumplen, según la tasa base)
n_C = 10.000 − 500 = 9.500                                                   (empresas que cumplen, el resto)
a_I = 500 × 80% = 400                                                       (alertas entre las que incumplen, por la sensibilidad)
a_C = 9.500 × 10% = 950                                                      (alertas entre las que cumplen, las falsas alarmas)
P(I | A) = 400 / (400 + 950) = 400 / 1.350 = 0,2963               (casos con alerta que incumplen, entre todos los casos con alerta)

Con la fórmula (I = incumple, A = alerta):

P(A) = P(A | I) P(I) + P(A | no I) P(no I)                                    (probabilidad total de la alerta)
P(A) = 0,80 × 0,05 + 0,10 × 0,95 = 0,04 + 0,095 = 0,135                      (suma ponderada)
P(I | A) = P(A | I) P(I) / P(A) = 0,04 / 0,135 = 0,2963                   (teorema de Bayes)

Solo el 29,6% de las alertas corresponde a un incumplimiento, aunque el sistema detecte el 80% de ellos, porque los que cumplen son tantos (95%) que sus falsas alarmas, aunque raras (10%), superan en número a las alertas verdaderas. Ignorar la tasa base (el 5%) es el error más frecuente al interpretar una prueba o una alerta.

Actualizar con más información. Si una segunda alerta independiente aparece, la posterior de antes pasa a ser la nueva previa: P(incumple | dos alertas) = 0,80 × 0,2963 / (0,80 × 0,2963 + 0,10 × 0,7037) = 0,7711. Dos alertas independientes elevan la probabilidad de 0,30 a 0,77: cada dato nuevo actualiza la creencia.

Preguntas para pensar

• Un informe afirma que el sistema de alerta «acierta el 80%». Con esta sección, ¿qué pregunta le harías antes de decidir negar un crédito a toda empresa con alerta?
• Piensa en una decisión económica real (aprobar un crédito, detectar evasión fiscal, aceptar un lote de producción) donde importe la tasa base. ¿Cómo cambiaría la posterior si la tasa base se duplicara?