A.5 Independencia estadística

¿La inflación de un mes «depende» del año? Cómo se contrasta con una tabla

En la tabla de inflación mensual 2023-2025, los meses de inflación Alta se concentran en 2025: 4 de los 6. Pero ¿es eso una señal de que el año y el nivel de inflación están relacionados, o es una casualidad del reparto de 36 meses? La pregunta es de independencia: saber el año de un mes ¿cambia la probabilidad de que su inflación sea Alta?

El tema anterior mostró que, en esta tabla, P(Alta) = 0,1667 pero P(Alta | 2025) = 0,3333: la condición cambia la probabilidad. Este tema formaliza esa idea y la lleva a una herramienta de cálculo: lo que se esperaría en la tabla si no hubiera relación alguna.

2,0 veces

es cuánto mayor es la probabilidad de inflación Alta en 2025 (0,3333) que en todo el período (0,1667).

Fuente: INE, IPC general mensual, base 2016=100, enero de 2023 a diciembre de 2025; cálculo propio.

Qué significa que dos eventos sean independientes

Dos eventos A y B son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro. Hay tres formas equivalentes de decirlo:

P(B | A) = P(B)                                                (saber A no cambia la probabilidad de B)
P(A | B) = P(A)                                                (y saber B no cambia la de A)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)                                         (la conjunta es el producto de las marginales)

Por definición, un evento independiente es aquel cuyas probabilidades no se ven afectadas de ninguna forma por la ocurrencia del resto de los eventos. Con dos dados, A = «el primero sale par» y B = «la suma es 7»:

P(A) = 18/36 = 1/2                                             (mitad de las 36 parejas tiene el primer dado par)
P(B) = 6/36 = 1/6                                              (seis parejas suman 7)
P(A ∩ B) = 3/36 = 1/12                                         (parejas con primer dado par y suma 7: (2,5), (4,3), (6,1))
P(A) × P(B) = 1/2 × 1/6 = 1/12                                 (coincide con la conjunta: A y B son independientes)

No se ve a simple vista: hay que comprobarlo con alguna de las tres igualdades. Y basta con que una falle para que los eventos sean dependientes.

Contrastar independencia en una tabla: frecuencias esperadas

Si el año y la categoría de inflación fueran independientes, la conjunta de cada celda sería el producto de sus marginales: P(fila) × P(columna). Multiplicado por el total de casos, el número de meses esperado en cada celda es (F = total de la fila, K = total de la columna, N = total de casos)

E = F × K / N                                                    (frecuencia esperada bajo independencia, con F el total de la fila y K el total de la columna)
E(2025, Alta) = 12 × 6 / 36 = 2,00                                 (meses de 2025 con inflación Alta si no hubiera relación)
E(2023, Baja) = 12 × 16 / 36 = 5,33                                (meses de 2023 con inflación Baja si no hubiera relación)

Se compara la tabla observada con la esperada:

Año      Baja     Media     Alta     Total
2023       10         2        0        12
2024        4         6        2        12
2025        2         6        4        12
Total      16        14        6        36

Año      Baja       Media      Alta       Total
2023       5,33       4,67       2,00        12
2024       5,33       4,67       2,00        12
2025       5,33       4,67       2,00        12
Total     16,00      14,00       6,00        36

Las diferencias son grandes: en 2023 hubo 10 meses de inflación Baja y se esperaban 5,33; en 2025 hubo 4 de inflación Alta y se esperaban 2; en 2023 no hubo ninguno de inflación Alta cuando se esperaban 2. Con estos números, el año y el nivel de inflación no parecen independientes. Cuán grandes tienen que ser las diferencias para concluir con seguridad que hay relación (y no un reparto casual) es la pregunta de la prueba de independencia chi-cuadrado, en la sección de pruebas de hipótesis; aquí solo se construye la tabla de esperados, que es su punto de partida.

Excluyentes no es lo mismo que independientes

Es una confusión frecuente. Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos: P(A ∩ B) = 0. Dos eventos son independientes si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Si A y B tienen probabilidad positiva y son excluyentes, entonces

P(A ∩ B) = 0                                                   (excluyentes: no pueden ocurrir a la vez)
P(A) × P(B) > 0                                                (producto de dos probabilidades positivas)

y las dos cantidades no coinciden: son dependientes. Ejemplo con la tabla: «inflación Baja» y «inflación Alta» son excluyentes (un mes no puede ser ambas cosas). Pero si se sabe que un mes fue de inflación Alta, se sabe con certeza que no fue Baja: P(Baja | Alta) = 0, que es distinto de P(Baja) = 0,4444. Lo contrario también ocurre: dos eventos pueden ser independientes sin ser excluyentes (los dados de arriba: A y B pueden ocurrir juntos).

Independencia en secuencias. En lanzamientos sucesivos de una moneda, cada lanzamiento es independiente de los anteriores: P(5 cruces seguidas) = (1/2)⁵ = 1/32 = 0,0313. Y después de cuatro cruces seguidas, la probabilidad de que el quinto sea cruz sigue siendo 1/2: la moneda no tiene memoria. Creer que «ya toca cara» es la falacia del jugador.

Preguntas para pensar

• En la tabla de inflación, el reparto observado se aleja mucho del esperado bajo independencia. ¿Qué explicaciones económicas se te ocurren para que 2025 concentre los meses de inflación Alta? ¿Qué diferencia hay entre «relacionado» y «causado por»?
• ¿Puede un evento ser independiente de sí mismo? Razona con la definición, considerando P(A | A).