A.4 Probabilidad conjunta, marginal y condicional

Si un mes fue de inflación alta, ¿qué probabilidad hay de que fuera de 2025?

Entre enero de 2023 y diciembre de 2025 hay 36 variaciones mensuales del IPC. Clasificadas en Baja (menos de 0,5%), Media (de 0,5% a menos de 1,5%) y Alta (1,5% o más), y cruzadas con el año, dan una tabla de 3 × 3. De los 6 meses de inflación Alta, 4 fueron de 2025. Esa proporción, 4/6, responde a una pregunta condicional: ¿cuánto vale la probabilidad de 2025 sabiendo que el mes fue de inflación Alta?

Hay otras preguntas con la misma tabla: ¿qué fracción de los 36 meses fueron a la vez de 2025 y de inflación Alta? ¿Qué fracción de los meses fueron de inflación Alta, sin mirar el año? Son tres tipos de probabilidad distintos —conjunta, marginal y condicional—, que se leen en tres zonas distintas de la misma tabla.

4 de 6

meses de inflación Alta fueron de 2025: P(2025 | Alta) = 0,6667, frente a P(2025) = 0,3333 sin condición.

Fuente: INE, IPC general mensual, base 2016=100, enero de 2023 a diciembre de 2025; variaciones, clasificación y conteo propios.

La tabla de contingencia: frecuencias conjuntas y marginales

Una tabla de contingencia (o tabla cruzada) cuenta los casos según dos criterios a la vez. Aquí, el año en las filas y la categoría de inflación en las columnas:

Año      Baja     Media     Alta     Total
2023       10         2        0        12
2024        4         6        2        12
2025        2         6        4        12
Total      16        14        6        36

Si cada celda se divide entre el total de casos (36), se obtiene una tabla de probabilidades:

Año      Baja       Media      Alta       P(año)
2023     0,2778     0,0556     0,0000     0,3333
2024     0,1111     0,1667     0,0556     0,3333
2025     0,0556     0,1667     0,1111     0,3333
P(cat.)  0,4444     0,3889     0,1667     1,0000

- Las celdas del interior son probabilidades conjuntas: la probabilidad de que ocurran las dos cosas a la vez. P(2025 ∩ Alta) = 4/36 = 0,1111. La conjunta es la probabilidad de A y B «juntos o en sucesión».
- Los totales de los márgenes (última fila y última columna) son probabilidades marginales: la probabilidad simple de un evento, sin tener en cuenta el otro criterio. Se llaman marginales porque están en los márgenes de la tabla. P(Alta) = 6/36 = 0,1667; P(2025) = 12/36 = 0,3333. Cada marginal es la suma de las conjuntas de su fila o columna.

Control: la suma de todas las conjuntas es 1, y los totales de las filas suman 1, igual que los de las columnas.

Probabilidad condicional: se reduce el universo

La probabilidad condicional de B dado A, P(B | A), es la probabilidad de que ocurra B si ya se sabe que ocurrió A. Saber que ocurrió A reduce el universo de casos posibles a los casos de A: ya no se divide entre 36, sino entre los casos de A.

P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)                                        (conjunta entre marginal de la condición, con P(A) mayor que 0)

En la tabla, la condición señala una fila o una columna. Dado que el mes fue de 2025 (fila de 2025, con 12 meses):

P(Alta | 2025) = P(2025 ∩ Alta) / P(2025) = 0,1111 / 0,3333 = 0,3333       (con probabilidades)
P(Alta | 2025) = 4 / 12 = 0,3333                                               (con conteos: los casos de 2025 son el nuevo universo)

Son el mismo resultado. Dentro de 2025, uno de cada tres meses fue de inflación Alta (frente a P(Alta) = 0,1667 en todo el período). Tabla de condicionales por fila (cada fila suma 1):

Año      P(Baja | año)   P(Media | año)   P(Alta | año)
2023         0,8333          0,1667          0,0000
2024         0,3333          0,5000          0,1667
2025         0,1667          0,5000          0,3333

La condicional no es simétrica. Dado que el mes fue de inflación Alta (columna Alta, con 6 meses), la probabilidad de que sea de 2025 es

P(2025 | Alta) = 4 / 6 = 0,6667                                           (casos de 2025 entre los de inflación Alta)

P(Alta | 2025) = 0,3333 y P(2025 | Alta) = 0,6667 son probabilidades distintas: una condiciona en el año, la otra en la categoría. Confundirlas es uno de los errores más frecuentes (se verá de nuevo con el teorema de Bayes).

Regla del producto general y chequeo con la tabla

Despejando la conjunta de la fórmula de la condicional:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = P(B) × P(A | B)                       (regla del producto, vale siempre, haya o no independencia)
P(2025 ∩ Alta) = P(2025) × P(Alta | 2025) = 0,3333 × 0,3333 = 0,1111      (por el año)
P(2025 ∩ Alta) = P(Alta) × P(2025 | Alta) = 0,1667 × 0,6667 = 0,1111      (por la categoría)

Los dos caminos dan el 0,1111 de la tabla. Con la regla del producto se puede reconstruir la conjunta cuando solo se conocen marginales y condicionales, y también calcular cualquiera de los tres tipos de probabilidad a partir de los otros dos. Resumen:

Tipo             Símbolo        Qué pregunta responde                          Dónde está en la tabla
Marginal         P(A)           ¿qué tan probable es A, sin más información?    márgenes (totales)
Conjunta         P(A ∩ B)       ¿qué tan probable es A y B a la vez?             interior de la tabla
Condicional      P(B | A)       ¿qué tan probable es B sabiendo que ocurrió A?   una fila o columna sola

Preguntas para pensar

• Un informe dice «2025 fue el año con más meses de inflación Alta». ¿Qué tipo de probabilidad respaldaría esa frase: marginal, conjunta o condicional? ¿Qué cálculo con la tabla haría para comprobarla?
• ¿Por qué P(Alta | 2025) y P(2025 | Alta) pueden diferir tanto? Describe con tus palabras qué cambia el denominador en cada una.