A.3 Reglas de la suma y del producto

Un registro de exportaciones al azar: ¿mineral, de más de 1.000 millones, o las dos cosas?

La serie de exportaciones del INE tiene cinco productos y siete años: 35 registros producto-año. De ellos, 21 son de minerales (zinc, plata y oro en los siete años), 24 superan los 1.000 millones de dólares y 15 cumplen ambas condiciones. Si se elige un registro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de un mineral o de más de 1.000 millones? Sumar 21 y 24 es el error más tentador: los registros que son las dos cosas se cuentan dos veces.

Las reglas de la suma y del producto permiten calcular probabilidades de eventos combinados a partir de las de eventos simples, sin tener que contar todos los casos cada vez.

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registros producto-año son de un mineral o superan los 1.000 millones de dólares (o ambas cosas): una probabilidad de 0,8571.

Fuente: INE, valor de las exportaciones por producto (con elaboración del BCB y YPFB), 2019-2025; las cifras de 2024 y 2025 son preliminares; conteo propio.

La regla de la suma: «A o B»

La probabilidad de que ocurra A o B (o ambos) es P(A ∪ B). Hay dos casos.

Eventos mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir a la vez): las probabilidades simplemente se suman. Por ejemplo, un registro es de hidrocarburo, de mineral o de agroindustria, y solo uno de los tres:

P(H ∪ M) = P(H) + P(M) = 7/35 + 21/35 = 28/35 = 0,8000              (hidrocarburo o mineral: los eventos no se solapan)

Eventos que se pueden solapar: al sumar P(A) y P(B) los casos que están en ambos se cuentan dos veces, y hay que restarlos una vez. Con A = mineral, B = valor mayor que 1.000 millones:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)                                (suma, menos la intersección que se contó dos veces)
P(M) = 21/35 = 0,6000                                          (registros de minerales)
P(A) = 24/35 = 0,6857                                          (registros con más de 1.000 millones)
P(M ∩ A) = 15/35 = 0,4286                                   (registros de minerales con más de 1.000 millones)
P(M ∪ A) = 0,6000 + 0,6857 − 0,4286 = 0,8571          (mineral o más de 1.000 millones)

Si no se restara la intersección, el resultado sería 1,2857: una sobreestimación de 0,4286. Un diagrama de Venn ayuda a no contar dos veces la zona donde los círculos se traslapan. La regla de los excluyentes es el caso particular en que P(A ∩ B) = 0.

La regla del producto: «A y B»

La probabilidad de que ocurran A y B es P(A ∩ B). Depende de si el resultado de uno afecta al otro.

Eventos independientes: saber que ocurrió A no cambia la probabilidad de B. Entonces P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Ejemplo: dos lanzamientos de una moneda, P(cara y cara) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Eventos dependientes: la probabilidad de B cambia si ocurrió A. Se usa P(B | A), la probabilidad de B dado A (el tema siguiente la estudia en detalle): P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A).

El caso típico es el muestreo sin reemplazo. De los cinco productos se eligen dos al azar, uno tras otro, sin devolver el primero. ¿Probabilidad de que ambos sean minerales (tres de los cinco)? Sean M₁ el evento «el primero es mineral» y M₂ «el segundo es mineral»:

P(M₁) = 3/5                                              (hay 3 minerales entre los 5 productos)
P(M₂ | M₁) = 2/4                                (quedan 4 productos y 2 minerales)
P(M₁ ∩ M₂) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 0,3                       (regla del producto con eventos dependientes)

Es el mismo 3/10 que se obtuvo con combinaciones en el tema anterior: dos caminos para el mismo número. Si la elección fuera con reemplazo (se devuelve el primero), los eventos serían independientes y la probabilidad sería 3/5 × 3/5 = 9/25 = 0,36.

«Al menos uno»: la regla del complemento ahorra trabajo

La probabilidad de que ocurra al menos uno de varios sucesos es, casi siempre, más fácil de calcular por el complemento (que no ocurra ninguno): P(al menos uno) = 1 − P(ninguno).

Se eligen dos productos con reemplazo, al azar. ¿Probabilidad de que al menos uno sea mineral? El complemento es que ninguno sea mineral; llamémoslo N. Son dos productos no minerales, 2 de 5 cada vez, independientes:

P(N) = 2/5 × 2/5 = 4/25 = 0,16                              (ninguno es mineral, con reemplazo)
P(Nᶜ) = 1 − 0,16 = 0,84                                           (al menos uno es mineral: el complemento de N)

Calcularlo directamente exigiría sumar tres casos (el primero mineral y el segundo no, el segundo y no el primero, ambos), con más posibilidades de error.

Preguntas para pensar

• Si P(A) = 0,6 y P(B) = 0,7, ¿pueden A y B ser mutuamente excluyentes? Razona con la regla de la suma antes de contestar.
• En el muestreo con reemplazo los eventos son independientes y sin reemplazo no lo son. ¿Qué pasa con la diferencia entre ambas probabilidades cuando la población es muy grande frente a la muestra?