A.2 Reglas de conteo: factorial, permutaciones y combinaciones

De cinco productos de exportación, ¿cuántas parejas se pueden comparar?

La tabla de exportaciones del INE que se usa en estos temas tiene cinco productos: gas natural, soya, zinc, plata y oro. Un analista quiere comparar dos de ellos en un informe. ¿Cuántas parejas distintas puede formar? Y si dos de los cinco se eligen al azar, ¿qué probabilidad hay de que ambos sean minerales (zinc, plata y oro son tres de los cinco)?

Ambas preguntas se reducen a contar: cuántos resultados posibles hay y cuántos son favorables. Con pocos elementos se puede listar a mano; con muchos hace falta una regla. Esas reglas de conteo son la base de la probabilidad clásica del tema anterior (casos favorables entre casos posibles) y, más adelante, de la distribución binomial y la hipergeométrica.

10 parejas

es el número de formas de elegir 2 productos distintos entre los 5 de la tabla de exportaciones, sin importar el orden.

Fuente: Cálculo propio sobre los cinco productos de la serie de exportaciones del INE, con elaboración del BCB.

El principio de multiplicación y el factorial

Si una tarea se puede hacer en etapas y la primera etapa admite m formas y la segunda n formas (cualquiera sea la elegida en la primera), la tarea completa admite m × n formas. Es el principio de multiplicación. La tabla de exportaciones lo ilustra: 5 productos y 7 años (2019 a 2025) dan 5 × 7 = 35 observaciones producto-año.

Cuando se ordenan todos los elementos de un conjunto, la primera posición se puede llenar de n formas, la segunda de n − 1, y así hasta la última, de 1 forma. El resultado es el factorial:

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1                           (producto de todos los enteros desde n hasta 1)
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120                                       (formas de ordenar los cinco productos por su valor exportado)
0! = 1                                                              (convención que hace funcionar las fórmulas siguientes)

Cinco productos se pueden ordenar de 120 formas distintas. Si se eligiera un orden al azar, la probabilidad de que el oro quede primero es 24/120 = 1/5, porque con el oro fijo en la primera posición los otros cuatro se ordenan de 4! = 24 formas.

Permutaciones: cuando el orden importa

Una permutación es un arreglo de r elementos elegidos entre n, sin repetir y importando el orden. Por ejemplo: de los cinco productos, elegir el primero y el segundo por valor exportado (el orden distingue «oro primero, plata segundo» de «plata primero, oro segundo»).

P(n, r) = n × (n − 1) × ... × (n − r + 1) = n! / (n − r)!             (se llenan r posiciones, cada una con una opción menos)
P(5, 2) = 5 × 4 = 20                                           (son 5 opciones para el primer lugar y 4 para el segundo)
P(5, 2) = 5! / 3! = 120 / 6 = 20                           (la misma cuenta con factoriales)

Hay 20 formas de elegir un primero y un segundo entre los cinco productos.

Combinaciones: cuando el orden no importa

Una combinación es un grupo de r elementos elegidos entre n sin importar el orden. Para comparar dos productos, «oro y plata» y «plata y oro» son la misma pareja. Cada pareja aparece r! veces en las permutaciones (todas sus ordenaciones), así que se divide entre r!:

C(n, r) = P(n, r) / r! = n! / (r! × (n − r)!)                          (se eliminan los reordenamientos de un mismo grupo)
C(5, 2) = P(5, 2) / 2! = 20 / 2 = 10                          (parejas distintas entre los cinco productos)
C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10                    (la misma cuenta con factoriales)

También C(n, r) = C(n, n − r): elegir 2 productos para comparar es lo mismo que elegir los 3 que se dejan fuera (C(5,3) = 10).

Probabilidad con combinaciones. Si se eligen 2 de los 5 productos al azar, todas las parejas son igualmente probables y la definición clásica aplica. Las parejas favorables son las de dos minerales, entre zinc, plata y oro:

N = C(5, 2) = 10                                               (casos posibles: cualquier pareja entre los cinco)
F = C(3, 2) = 3                                                (casos favorables: parejas de minerales, que son zinc-plata, zinc-oro y plata-oro)
P(M) = F / N = 3 / 10 = 0,3                       (donde M es el evento «ambos son minerales»)

Preguntas para pensar

• Una clave tiene 4 dígitos, con repetición permitida. Con el principio de multiplicación, ¿cuántas claves hay? ¿Cambia el resultado si no se permite repetir dígitos y por qué?
• La probabilidad de acertar una combinación de lotería baja mucho al crecer n. ¿Qué dice eso sobre el uso de las combinaciones para calcular probabilidades de eventos raros?