A.1 Probabilidad: espacio muestral, eventos y definiciones

¿Qué probabilidad hay de que un mes tenga inflación alta?

Entre enero de 2023 y diciembre de 2025, 6 de los 36 meses tuvieron una variación mensual del IPC de 1,5% o más (se llamará inflación Alta; Baja si fue menor que 0,5% y Media en el tramo intermedio). Si se elige un mes de ese período al azar, ¿qué tan probable es que sea de inflación alta? ¿Y qué se puede decir del próximo mes, que todavía no ocurrió?

Estas dos preguntas parecen la misma, pero no lo son. La primera tiene respuesta con los datos: 6 de 36. La segunda exige decir qué significa «probabilidad» cuando el resultado aún no existe. Hay tres maneras de entenderla, y cada una sirve para situaciones distintas: la clásica, la frecuencial y la subjetiva. Una cuarta, la axiomática, fija las reglas que todas deben cumplir.

6 de 36

meses entre enero de 2023 y diciembre de 2025 tuvieron una variación mensual del IPC de 1,5% o más: una frecuencia relativa de 0,1667.

Fuente: INE, IPC general mensual, base 2016=100, enero de 2023 a diciembre de 2025; variaciones mensuales, clasificación y conteo propios.

Experimento, espacio muestral y eventos

Un experimento aleatorio es una actividad cuyo resultado no se puede predecir con certeza, aunque sí se conozcan los resultados posibles. El conjunto de todos ellos es el espacio muestral S. Un evento es un subconjunto de S: una colección de resultados que interesa observar. Su complemento (A con barra, o Aᶜ) son los resultados que no están en A.

Experimento                          Espacio muestral S                    Un evento A                    Complemento de A
lanzar un dado                       {1, 2, 3, 4, 5, 6}                    A = «sale par» = {2, 4, 6}     {1, 3, 5}
dos monedas                          {cc, cx, xc, xx}                      A = «al menos una cara»        {xx}
inflación de un mes (3 categorías)   {Baja, Media, Alta}                   A = «Alta»                     {Baja, Media}

Con dos eventos A y B se forman otros dos:

- La unión A ∪ B: ocurre A, ocurre B, o ocurren ambos («o»).
- La intersección A ∩ B: ocurren A y B a la vez («y»).

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir a la vez (A ∩ B es vacío): en una tirada de dado, «sale 2» y «sale 5». Dos eventos exhaustivos cubren todo S entre los dos. Un evento y su complemento son excluyentes y exhaustivos al mismo tiempo.

Tres maneras de entender la probabilidad

Probabilidad clásica. Cuando todos los resultados son igualmente probables, la probabilidad de un evento es el número de resultados favorables entre el número total de resultados posibles.

P(A) = n(A) / n(S)                                                          (casos favorables entre casos posibles; válida solo si son equiprobables)
P(par) = 3 / 6 = 0,5                                                        (un dado equilibrado: {2, 4, 6} de {1, 2, 3, 4, 5, 6})
P(suma 7) = 6 / 36 = 0,1667                                                 (dos dados: 6 de las 36 parejas suman 7)

No sirve cuando los resultados no son igualmente probables: los tres meses de inflación Baja, Media y Alta no tienen 1/3 de probabilidad cada uno.

Probabilidad frecuencial. Es la fracción de veces que a la larga ocurre un evento cuando las condiciones son estables. Se estima observando datos:

P(A) ≈ 6 / 36 = 0,1667                                                      (con A = inflación Alta: su frecuencia relativa en los 36 meses)

Es una estimación: con más meses cambiaría. Cuantas más repeticiones, más se acerca la frecuencia relativa al valor «verdadero» (es la ley de los grandes números, que se ve con la hoja más abajo). Requiere que las condiciones sean estables, y en economía casi nunca lo son del todo: la inflación de 2025 no se comporta como la de 2023.

Probabilidad subjetiva. Es una medida basada en las creencias personales de quien la estima, cuando no hay resultados equiprobables ni una serie larga de repeticiones: la probabilidad de que un proyecto tenga éxito, de que el próximo trimestre haya recesión. No es arbitraria: debe ser coherente con las reglas de la probabilidad y puede revisarse al llegar nueva información (el teorema de Bayes, que se ve al final de esta sección).

Las reglas comunes: los axiomas

Sea cual sea la forma de entenderla, toda probabilidad cumple tres reglas, los axiomas de Kolmogórov:

1) P(A) ≥ 0                                                  (una probabilidad nunca es negativa)
2) P(S) = 1                                                  (algún resultado del espacio muestral ocurre con certeza)
3) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)                                    (si A y B son mutuamente excluyentes, las probabilidades se suman)

De ahí se derivan resultados útiles. Como A y su complemento Aᶜ son excluyentes y cubren todo S: P(A) + P(Aᶜ) = P(S) = 1, de donde

P(Aᶜ) = 1 − P(A)                                             (regla del complemento)
P(Aᶜ) = 1 − 0,1667 = 0,8333                                 (con A = inflación Alta: un mes no es de inflación alta con probabilidad 5/6)
0 ≤ P(A) ≤ 1                                                 (toda probabilidad está entre 0 y 1)
P(∅) = 0                                                     (el evento imposible tiene probabilidad cero)

La regla del complemento ahorra trabajo: «al menos una cara en 5 monedas» es difícil de contar directamente, pero su complemento («ninguna cara») es un solo caso: P = 1 − (1/2)⁵ = 31/32.

Preguntas para pensar

• «La probabilidad de que mañana suba el dólar es de 30%». ¿Con cuál de las tres definiciones se podría haber llegado a ese número? ¿Qué supuestos hay detrás en cada caso?
• Si un evento es imposible (probabilidad 0), ¿significa necesariamente que es imposible que ocurra en la realidad? Piensa en la diferencia entre el modelo y el fenómeno.