G.2 Recurrencias de segundo orden

El modelo del multiplicador-acelerador de Samuelson

Un modelo clásico de ciclos económicos (Samuelson, 1939) combina dos mecanismos: el consumo de este período depende del ingreso del período anterior (C_t = c·Y_(t-1), con c la propensión marginal a consumir), y la inversión responde al cambio en el consumo entre los dos períodos previos, el efecto acelerador (I_t = v·(Y_(t-1) − Y_(t-2))). Con Y_t = C_t + I_t, y valores ilustrativos c=0,6 y v=0,1, ¿cómo evoluciona el ingreso Y_t con el tiempo, y se estabiliza?

Construyendo la ecuación de diferencias de segundo orden

Sustituyendo C_t e I_t en Y_t = C_t + I_t:

Y_t = c·Y_(t-1) + v·(Y_(t-1) − Y_(t-2))
Y_t = c·Y_(t-1) + v·Y_(t-1) − v·Y_(t-2)
Y_t = (c+v)·Y_(t-1) − v·Y_(t-2)

Con c=0,6 y v=0,1: Y_t = 0,7·Y_(t-1) − 0,1·Y_(t-2). A diferencia de G.1, este valor depende de dos períodos anteriores, no solo de uno: una ecuación de diferencias de segundo orden.

La ecuación característica: reutilizando valores propios

Una recurrencia de segundo orden x_(t+1) = a₁·x_t + a₂·x_(t-1) se puede reescribir como un sistema de primer orden en dos variables, agrupando el estado actual y el anterior en un vector (x_t, x_(t-1)), y aplicando la matriz:

M = [ a₁   a₂ ]
    [ 1    0  ]

Esta matriz, llamada matriz compañera, tiene la propiedad de que sus valores propios son exactamente las raíces de la ecuación característica r² − a₁r − a₂ = 0, la misma ecuación que se obtendría probando una solución de la forma x_t = r^t directamente en la recurrencia original. Para Y_t=0,7Y_(t-1)-0,1Y_(t-2) (a₁=0,7, a₂=-0,1):

M = [ 0.7   -0.1 ]
    [ 1      0   ]

El mismo motor de valores propios de F.1 (Álgebra Aplicada, módulo 11) calcula estas raíces: traza(M)=0,7, det(M)=0,7×0−(−0,1)×1=0,1, y resolviendo r²−0,7r+0,1=0 con la fórmula cuadrática se obtienen r₁=0,5 y r₂=0,2, dos raíces reales.

Preguntas para pensar

• Si el efecto acelerador v fuera mucho más grande (por ejemplo, v=0,5 en vez de 0,1), ¿esperarías que las raíces características sigan siendo reales, o podrían volverse complejas? ¿Qué significaría económicamente ese cambio?
• El modelo de Samuelson es uno de los primeros modelos formales de ciclo económico. ¿Qué elementos de la economía real crees que quedan fuera de esta versión simplificada de dos parámetros (c y v)?
• Compara la ecuación característica r²-a₁r-a₂=0 de este tema con el polinomio característico λ²-(traza)λ+det=0 de F.1 (módulo 11). ¿Por qué tienen exactamente la misma forma?