G.1 Recurrencias de primer orden y el modelo de la telaraña

Sembrar según el precio de ayer, vender al precio de hoy

En un mercado agrícola, la oferta de la temporada t no depende del precio de la temporada t (todavía no se conoce cuando se siembra), sino del precio de la temporada anterior, t-1, el que el agricultor observó antes de decidir cuánto plantar. La demanda, en cambio, sí responde al precio actual. Con valores ilustrativos (para trabajar el método, no un mercado boliviano específico):

Demanda:  Qd_t = 100 − 2·P_t
Oferta:   Qs_t = -20 + P_(t-1)

Si un choque inicial deja el precio en P₀=20 (muy por debajo de lo usual), ¿el mercado converge hacia un precio estable con el paso de las temporadas, o el precio se aleja cada vez más de cualquier equilibrio?

Del equilibrio de mercado a una ecuación de diferencias

En equilibrio, la cantidad demandada iguala a la cantidad ofrecida en cada período: Qd_t = Qs_t. Igualando ambas expresiones:

100 − 2·P_t = -20 + P_(t-1)

Despejando P_t paso a paso:

-2·P_t = -20 + P_(t-1) − 100
-2·P_t = P_(t-1) − 120
P_t = -0,5·P_(t-1) + 60                (dividiendo ambos lados entre -2)

Esta es una ecuación de diferencias de primer orden: cada precio depende únicamente del precio del período inmediatamente anterior, con la forma general x_(t+1) = a·x_t + b (aquí, a=-0,5, b=60). El signo negativo de a es la firma matemática del modelo de la telaraña (cobweb): cuando el precio de un período es alto, la oferta de la siguiente temporada responde con fuerza, empujando el precio hacia abajo; cuando es bajo, ocurre lo contrario. El precio oscila de temporada en temporada.

Estabilidad: cuándo la telaraña converge

Para una recurrencia x_(t+1) = a·x_t + b, el equilibrio x* es el valor donde la sucesión deja de cambiar: x* = a·x* + b, despejando x* = b/(1−a). Aquí, x* = 60/(1−(−0,5)) = 60/1,5 = 40.

El comportamiento de largo plazo depende únicamente del valor absoluto de a:

- Si |a| < 1: la sucesión converge al equilibrio (oscilando si a es negativo, como aquí, ya que a=-0,5).
- Si |a| > 1: la sucesión diverge, alejándose cada vez más del equilibrio.

Con a=-0,5 (|a|=0,5<1), el modelo de la telaraña de este mercado es estable: el precio converge a P*=40, oscilando por encima y por debajo de ese valor con amplitud decreciente. Económicamente, esto ocurre porque la demanda es más sensible al precio que la oferta rezagada (el coeficiente de P_t en la demanda, -2, es mayor en magnitud que el coeficiente de P_(t-1) en la oferta, 1); si la oferta hubiera sido más sensible que la demanda, el mismo modelo habría sido inestable.

Preguntas para pensar

• ¿Qué producto agrícola boliviano real te parece más propenso a mostrar un patrón de telaraña —decisiones de siembra basadas en el precio de la temporada anterior— y por qué?
• Si el gobierno quisiera estabilizar un mercado con telaraña inestable (|a|>1), ¿qué tipo de política podría reducir la sensibilidad de la oferta al precio rezagado?
• Compara esta ecuación de diferencias (tiempo discreto, temporada por temporada) con las ecuaciones diferenciales de F.1-F.2 (tiempo continuo). ¿En qué situaciones económicas tiene más sentido modelar en tiempo discreto que en tiempo continuo?